摘要:本文从高等数学视角出发，以高考数学真题为例，通过把函数展开成泰勒级数，让函数求导变得容易，进而快速判断不同种类函数大小．不仅增加了一种解题方法，也拓宽了学生眼界，让素质教育落在实处.

　　关键词:函数;导数;泰勒展开

　　比较数值大小或函数大小是高考数学中的常见题型，通常作为选择压轴题出现，而数值通常可以抽象为某个函数的函数值，因此最终都转化为比较函数大小，解决这类题型的通常做法是作差、求导、判断单调性，从而确定函数差的符号，最终确定函数大小．但在具体问题中，往往没有这么简单，难点是导数符号并不好判断，可能需要求两次甚至三次导数，才能讨论出导数的正负号，过程较为繁琐，学生往往找不到解题思路．如果以高等数学中的泰勒展开为工具，通过放缩比较函数间的大小或是求导通过单调性比较大小，都会变得十分简单，下面通过具体例子来展现泰勒展开的强大威力.

　　有些函数的泰勒展开各项间是正负交错的，利用放缩法不容易判断符号，但是泰勒展开会使求导变得容易，利用泰勒展开的导数判断单调性也可以比较函数大小，见下面的例2.

　　泰勒展开可以辅助求导，一阶导数就是一次项系数，二阶导数是二次项系数的2倍，三阶导数是3次项系数的6倍，四阶导数是4次项系数的24倍，在零点附近作泰勒展开，这点的各阶导数由泰勒展开系数决定，这就是泰勒展开决定求导．泰勒展开的优势不是不求导数，而是导数很容易求，由导数的符号逐级反推函数的单调性和正负，最终比较出两个函数的大小，上面的过程还可以进一步简化，见例3.

　　验证了泰勒展开估计a、b、c大小的正确性，泰勒展开可以指挥求导，从而快速判断函数大小.

　　以上方法就是把指数函数、对数函数用泰勒展开变成无穷级数，只用加减乘除就能判定函数取值的大小，比导数更容易被中学生掌握，只需背诵几个常用的展开式，威力比导数更强大．高考中能否允许使用泰勒展开?如果是选择题完全不需要担心，因为选择题只看结果不看方法，如果是解答题，担心不让用，也可以在草纸上写出泰勒展开公式，通过泰勒公式指挥求导发现求几次导才不为0，然后胸有成竹地在答题卡上按部就班地写出高考的标准解法.

　　参考文献:

　　［1］李尚志．大学视角下的中学数学(泰勒展开)［J］．数学通报，2019，58(08):1－5.