摘要:“平均变化率”是一个容易被忽略的知识点，其在有关函数单调性、圆锥曲线、直线斜率等方面有着重要的应用，在有关函数问题中渗透“平均变化率”知识，能够化繁为简，更好地解决一些复杂的函数问题，助力学生自主学习和探究的效率，培养学生的数学思想，促进学生数学综合水平的提升．本文对“平均变化率”在高中数学函数问题中的应用进行分析，并提出一些常用的解题方法．

　　关键词:平均变化率;函数应用;圆锥曲线

　　随着核心素养的提出，与图象有关的函数应用问题是近年高考数学的热点，这类问题往往考查学生对函数自变量和因变量变化情况的分析能力，在解题中借助“平均变化率”达到简洁求解之目的，有利于培养学生数形结合的能力以及数学的应用意识．

　　1理论阐述

　　我们必须熟练掌握关于“平均变化率”的几个具体类型及其特点．如图1，结合两个直角三角形，易得随着自变量的增大，因为图中水平虚线段长相等时，对应竖虚线段长越来越短，所以当自变量的增量(Δx)相同时，因变量的增量(Δy)越来越小．这时，我们就称“平均变化率”(Δx/Δy)越来越小．

　　类似分析可得，图2对应“平均变化率”越来越小;图3、图4对应“平均变化率”越来越大;图5、图6对应“平均变化率”不变．

　　2应用举例

　　“平均变化率”的特征比较明显，学生易于掌握，教师引导学生明确上述图形及其相关特点，在具体问题中应该结合“平均变化率”的实际特点，将数学问题转化为“平均变化率”问题，则求解此类相关问题即可达“事半功倍”之效．

　　2．1具体求解，不涉及分类讨论

　　例1如图7所示，现有一个计时漏斗，开始时盛满沙子，沙子从上部均匀漏下，经过5分钟漏完，h(厘米)是该沙漏中沙面下降的高度，则h与下漏时间t(分钟)的函数关系式用图象表示应该是(    )．

　　解析开始时沙子的高度变化很缓慢，随着沙面的下降，高度变化越来越快，即随时间t的增大，下降高度的平均变化率(Δh/Δt)越来越大，故易知应选B．

　　评注结合所给实物图形，理清整个实际变化过程是准确求解的切入点;其次，要注意学会观察、分析给定的函数图象．

　　2．2具体求解，涉及分类讨论

　　总之，从数形结合的角度，准确理解、掌握描述两个变量之间的变化关系的量———“平均变化率”，可帮助我们顺利求解以图形为载体，考查有关函数的实际应用问题，进而增强学生的识图、用图能力，有利于较好地培养学生的直观想象能力以及推理、判断能力．

　　参考文献:

　　[1]高敏，黄安成．就《平均变化率》的教学谈数学教师的创造性[J]．中学数学，2008(11):1－5．

　　[2]夏志辉．打磨核心教学细节追求高效数学课堂———《平均变化率》的磨课实践和体悟[J]．中学数学，2013(11):4－7．