摘要:证明不等式的方法技巧多种多样，本文结合实例，合理构造不同类型的函数，巧妙证明不等式，指导复习备考．

　　关键词:函数;不等式;证明;构造;应用

　　构造函数法证明不等式，是指在利用导数法证明与函数有关的不等式时，根据所要证明的不等式，构造与之相关的函数，通过求导，利用函数的单调性、极值、最值等基本性质来加以证明．而在具体证明时，就要综合函数的不同确定形式，合理选择对应的函数，从不同思维视角来合理构建满足条件的函数解析式，进一步加以求导处理，巧妙证明．

　　1作差构造法

　　证明譬如f(x)＜g(x)(或≤，＞，≥)，x∈(a，b)形式的不等式成立，可利用两函数进行作差比较统一成一个函数，结合作差构造法，构造函数F(x)=f(x)－g(x)，x∈(a，b)，通过求导，结合函数的基本性质来证明F(x)＜0(或≤，＞，≥)，从而得以证明对应的不等式成立．

　　例1已知函数f(x)=2ln(x+1)+sinx+1，求证:当x≥0时，f(x)≤3x+1．

　　分析利用所要证明的不等式进行作差处理，通过作差构造函数，借助求导来分析与确定函数的单调性，进而求出对应构建函数的最大值，通过不等明与函数有关的不等式时，根据所要证明的不等式，构造与之相关的函数，通过求导，利用函数的单调性、极值、最值等基本性质来加以证明．而在具体证明时，就要综合函数的不同确定形式，合理选择对应的函数，从不同思维视角来合理构建满足条件的函数解析式，进一步加以求导处理，巧妙证明．

　　1作差构造法

　　证明譬如f(x)＜g(x)(或≤，＞，≥)，x∈(a，b)形式的不等式成立，可利用两函数进行作差比较统一成一个函数，结合作差构造法，构造函数F(x)

　　=f(x)－g(x)，x∈(a，b)，通过求导，结合函数的基本性质来证明F(x)＜0(或≤，＞，≥)，从而得以证明对应的不等式成立．

　　例1已知函数f(x)=2ln(x+1)+sinx+1，求证:当x≥0时，f(x)≤3x+1．

　　分析利用所要证明的不等式进行作差处理，通过作差构造函数，借助求导来分析与确定函数的单调性，进而求出对应构建函数的最大值，通过不等式的确定以及变形与转化来证明相应的不等式．

　　证明设函数h(x)=f(x)－(3x+1)=2ln(x+1)+sinx－3x，x≥0，

　　则h'(x)=+cosx－3．

　　因为x≥0，所以∈(0，2]，cosx∈[－1，1]，

　　则h'(x)≤0．

　　从而函数h(x)在区间[0，+∞)上单调递减．所以h(x)=f(x)－(3x+1)≤h(0)=0，即f(x)≤3x+1成立．

　　2拆分构造法

　　对于一些所要证明的不等式中含有指数式或含有对数式，求导时不易直接求最值，可通过代数关系式的合理拆分变形来构造函数，利用函数的基本性质来证明对应的不等式;有时也合理拆分变形来构造两个函数，分别计算它们的最值，利用隔离分析最值来证明对应的不等式．

　　例2已知函数f(x)=(a∈R)在区间[1，2]上有极值．

　　(1)求实数a的取值范围;

　　(2)证明:f(x)＞．

　　分析(1)通过函数求导，结合导函数的零点加以分类讨论，确定函数的单调性及极值的存在性，进而得以确定实数a的取值范围;(2)通过对所要证明的不等式加以分析，通过拆分构造法构造函数，通过函数的单调性及最值的确定来合理转化，进而加以证明相应的不等式．

　　解析(1)因为函数f(x)=lnx+(x＞0)，则f'(x)=－=(x＞0)．

　　当a+1≤1，即a≤0时，在区间[1，2]上f'(x)≥0，所以函数f(x)在[1，2]上单调递增，无极值;

　　当a+1≥2，即a≥1时，在区间[1，2]上f'(x)≤0，所以函数f(x)在[1，2]上单调递减，无极值;

　　当1＜a+1＜2，即0＜a＜1时，由f'(x)＞0得x＞a+1，由f'(x)＜0得x＜a+1，所以函数f(x)在区间[1，a+1)上单调递减，在区间(a+1，2]上单调递增，当x=a+1时函数f(x)取得极小值，符合题意．

　　综上分析，可得实数a的取值范围为(0，1)．

　　(2)要证f(x)＞(x＞0)，

　　只需证xf(x)＞a(x+1)．

　　只需证xlnx+a+1＞ax+a．

　　即证xlnx＞ax－1．

　　设函数g(x)=xlnx－ax+1，

　　则g'(x)=lnx+1－a．

　　由得0＜x＜ea－1，

　　由得x＞ea－1．

　　所以函数f(x)在区间(0，ea－1)上单调递减，在区间(ea－1，+∞)上单调递增．

　　所以函数g(x)≥g(ea－1)=(a－1)ea－1－aea－1+1=1－ea－1．

　　因为0＜a＜1，所以1－ea－1＞0．

　　则g(x)＞0．即xln x＞ax－1．

　　所以f(x)＞．

　　3换元构造法

　　对于所要证明的不等式中含有两个及以上参数的不等关系式，经常借助合理变形，整体化处理，进行合理换元构造对应的函数，化多参数为单一参数，进而通过函数的基本性质、不等式的性质等来分析

　　对应的不等式证明问题．

　　例3已知函数f(x)=lnx+x2+x，若正实数x1，x2满足f(x1)+f(x2)+x1 x2=0，求证:x1+x2≥

　　－1

　　分析结合满足题目条件的关系式的恒等变形转化，合理配方转化，换元构造对应的函数，结合函数的单调性与最值建立对应的不等式，结合二次不

　　等式的求解来证明相应的不等式成立问题．

　　证明对于函数f(x)=lnx+x2+x(x＞0)，由正实数x1，x2满足f(x1)+f(x2)+x1 x2=0，可得lnx1+x+x1+lnx2+x+x2+x1 x2=0．从而(x1+x2)2+(x1+x2)=x1 x2－ln(x1 x2)．令t=x1 x2(t＞0)，函数φ(t)=t－lnt，

　　则φ'(t)=1－=．

　　易知函数φ(t)在区间(0，1)上单调递减，在区间(1，+∞)上单调递增．所以函数φ(t)≥φ(1)=1．

　　所以(x1+x2)2+(x1+x2)≥1．

　　因为x1＞0，x2＞0，所以x1+x2≥．

　　4同构函数法

　　在证明不等式时，结合相关所要证明的不等式所对应的关系式的合理转化或变形，提取出其中相同或相似的代数结构，寻找结构的同型或共性，进而合理同构相应的函数模型，结合导数以及函数的基本性质、不等式性质等来合理转化，巧妙证明．

　　例4(2021年数学新高考Ⅰ卷第22题)已知函数f(x)=x(1－lnx)．

　　(1)讨论f(x)的单调性;

　　(2)设a，b为两个不相等的正数，且blna－alnb

　　=a－b，证明:2＜+＜e．

　　分析(1)中首先求得导函数的解析式，结合导函数的取值符号即可确定函数的单调性;(2)中利用同构关系将原问题中不等式的证明转化为极值点偏移的问题，结合变形的关系式的特征同构相应的函数，利用函数的单调性与极值来证明对应的不等式问题．

　　解析(1)由函数的解析式可得

　　f'(x)=1－lnx－1=－lnx．

　　则当x∈(0，1)时，f'(x)＞0，f(x)单调递增;当x∈(1，+∞)时，f'(x)＜0，f(x)单调递减．(2)由blna－alnb=a－b，得

　　－ln+ln=－．

　　即(1－ln)=(1－ln)．

　　由(1)知函数f(x)在(0，1)单调递增，在(1，+∞)单调递减，所以f(x)max=f(1)=1，且f(e)=

　　0．令x1=1 x2=1则x1，x2为f(x)=k的两根，其

　　中k∈(0，1)．

　　不妨令x1∈(0，1)，x2∈(1，e)，则2－x1＞1．先证2＜x1+x2，即证x2＞2－x1＞1．

　　即证f(x2)=f(x1)＜f(2－x1)．

　　令函数h(x)=f(x)－f(2－x)，x∈(0，1)，

　　则h'(x)=f'(x)+f'(2－x)=－lnx－ln(2－x)=－ln[x(2－x)]在(0，1)单调递减．

　　所以h'(x)＞h'(1)=0．

　　故函数h(x)在(0，1)单调递增．

　　所以h(x1)＜h(1)=0．

　　即f(x1)＜f(2－x1)．

　　亦即2＜x1+x2，得证．

　　再证明:x1+x2＜e．

　　要证x1+x2＜e，即证1＜x2＜e－x1．

　　同理，根据(1)中函数f(x)的单调性，即证f(x2)=f(x1)＞f(e－x1)．

　　同构函数φ(x)=f(x)－f(e－x)，x∈(0，1)，则φ'(x)=－ln[x(e－x)]，

　　令φ'(x0)=0，

　　则当x∈(0，x0)时，φ'(x)＞0，φ(x)单调递增;当x∈(x0，1)时，φ'(x)＜0，φ(x)单调递减．

　　又x＞0，f(x)＞0，且f(e)=0，

　　故x→0，φ(0)＞0，φ(1)=f(1)－f(e－1)＞0．

　　所以φ(x)＞0恒成立．

　　即x1+x2＜e得证．

　　综上分析，可得2＜+＜e．

　　其实，构造函数法证明不等式时，除了借助以上一些常见的作差构造法、拆分构造法、换元构造法、同构函数法以及创新构造法等构造函数的基本方法外，还可以通过分类讨论、数形结合以及多个函数的构造等方法来证明相应的不等式成立．破解的关键是借助导数思维，抓住用导数判断函数单调性来处理对应函数的单调性、极值或最值问题，从而再转化为对应的不等式问题，达到有效证明不等式问题，全面提升导数的综合应用，提高数学能力，培养数学核心素养．

　　参考文献:

　　[1]竺宝林．例谈导数视角下“构造函数证明不等式问题”的解决策略[J]．中学数学教学，2018(03):45－48．

　　[2]钟云亮．构造函数模型巧证不等式[J]．中学数学(高中版)，2012(05):11．

　　[3]蔡莹．浅谈导数在高中数学函数中的解题应用[J]．考试周刊，2018(77):94．