摘要:运算能力是学生的数学核心素养之一，而理解算理、掌握算法是学生发展运算能力的基础。乘法运算的通理通法是能够贯穿整数乘法知识序列的，是学生需要获得的、可迁移的上位知识内容，也是发展学生运算能力的重要载体。因此，本设计采用单元整体设计的基本思路，以三年级下学期“两位数乘两位数”单元为例，进行了单元系列学习任务的开发与实践，积累了促进学生数学核心素养形成的单元学习任务的设计与实践经验。

　　关键词:整数乘法；单元整体设计；运算能力

　　运算能力主要是指能够根据法则和运算律正确地进行运算的能力，是数学关键能力，也是学生应该具备的学科核心素养之一。培养运算能力实际就是培养儿童在理解算理的过程中掌握算法，寻求合理、简洁的运算途径解决实际问题的能力。算理为算法提供了理论指导，算法使算理具体化。算理算法相辅相成，共同构架起数学运算的核心框架。

　　聚焦整数乘法，我们再次思考：设计什么样的学习任务，能够促进理与法的融通，发现其共性的东西，找到单元学习中可迁移的想法，有效地发展学生的核心素养——运算能力呢？大概念引领下的单元整体设计为我们提供了思考与实践的框架(如图1)：

　　单元具体概念是单元学习任务开发的基石，对学习任务设计起着引领拉动的作用，反过来，学习任务的实施又支撑推动着单元具体概念的形成与完善。

　　这个框架让单元学习任务设计有了从上到下的结构化思考，能促进核心素养的真正落地。下面以三年级下学期“两位数乘两位数”单元为例，谈谈单元整体设计的学习任务开发与实践。

　　一、分析知识结构，探寻单元主题及具体概念

　　什么是单元具体概念？笔者认为，它是数学大概念在单元中的具体化，是对核心内容的数学本质、思想方法和教育价值的概括性描述，具有概括性、永恒性、迁移性及发展性的特征。

　　单元主题和具体概念从何而来？我们要深度理解教材和课标，分析知识结构，挖掘单元核心内容的数学本质、思想方法和教育价值。

　　立足单元整体来思考，乘法运算系列学习中最重要的、需要学生沉淀下来的、能够迁移的东西到底是什么？

　　乘法运算贯穿于小学低、中、高年级，包括整数、小数、分数乘法，在不同数域中，乘法运算的核心均为“计数单位的倍增”，“标准算法”是将数按照计数单位逐一分解；然后，将计数单位上的“数字”进行简单的运算，最后再重组。这样的数学本质让我们联想到了乘法运算的“通理通法”。

　　再聚焦到整数乘法大单元，根据《义务教育数学课程标准(2011年版)》的编排，小学阶段的整数乘法包含四部分内容：乘法口诀、两三位数乘一位数、两位数乘两位数、三位数乘两位数。整数乘法大单元的学习是一个持续提升的过程，在“两三位数乘一位数”的学习中，学生初步感知“拆与合”的思考过程；学习“两位数乘两位数”时，学生迁移尝试“拆与合”的方法，体悟到“位值”的作用，促使学生对整数乘法运算的一般化方法做出思考和探索；“三位数乘两位数”只是这种一般化方法的巩固与应用，至此多位数乘多位数将一以贯之。这样的思想方法，让我们感悟着乘法运算的一致性。(如图2)

　　基于以上分析，“两位数乘两位数”单元是整数乘法学习的关键节点，探究的是整数乘法运算的一般化方法。因此“联‘理’通‘法’，提高运算能力”构成了这个单元的学习主题。

　　聚焦到“两位数乘两位数”单元，我们要重点关注什么呢？也就是这个单元的具体概念是什么？为了准确定位，我们研究了人教版、北师大版及北京版教材的单元编排，发现各版本教材都是在试图帮助学生借助几何直观，突出位值，探索两位数乘两位数的算理和算法，并进一步形成乘法运算的通理通法，从而提高学生的运算能力。由此我们也找到了“两位数乘两位数”的“单元具体概念”：

　　具体概念一：基于乘法的意义和数的意义可以对数进行拆分，从而寻求计算两位数乘两位数的通用算法。

　　具体概念二：在多样的拆数方法中，整十数拆数法表现出普适性，它是数的十进制及位值制的价值体现。

　　具体概念三：利用点子图等模型，可以帮助学生进行多样拆分，在理解算理的基础上，追求简洁、通用的算法。

　　具体概念四：两位数乘两位数的运算经验也将会迁移至后续学习中，发展学生的运算能力和推理能力。

　　本单元是在“两三位数乘一位数”的基础上展开学习的，学生在巩固已有知识经验的基础上，进一步感悟整数乘法计算的通理通法，从而为后续学习更大的数或小数乘法积累经验，进一步发展运算能力及推理能力。

　　二、分析先前经验，确定单元学习目标

　　为了解学生学习难点，笔者对三年级下学期33名学生做了学情调研。调研题目为“用你喜欢的方法计算14×12，想一想每步的意思”。

　　调研结果显示：60.6%的学生能用不同方法得出正确结果，39.4%的学生结果出错。通过分析和访谈，发现大部分学生能够借助已有经验，正确计算两位数乘两位数，但存在以下难点：一是大部分学生只会程序化地模仿竖式，不理解算理；二是不理解乘法竖式中的“第二层积”的意义及书写方式。

　　基于单元具体概念和学生的先期经验和困难，我们制定了如下的TUKE单元学习目标：

　　(T)迁移目标：能够迁移研究“两位数乘两位数”的方法，渗透分与合的思想意识，联“理”通“法”研究其他乘法运算，并获得初步结果，体会整数乘法的一致性。

　　(U)理解目标：在借助点子图拆分的过程中，理解两位数乘两位数乘法是通过“拆分合”的转化过程，实现计数单位个数累加的过程。理解竖式记录每一步的含义。

　　(K)知能目标：能理解两位数乘两位数算理，会用竖式正确计算两位数乘两位数。掌握估算的基本方法；能够解决与两位数乘两位数乘法有关的实际问题，发展运算能力和推理能力。

　　(E)情感目标：在两位数乘两位数的学习过程中，感悟知识之间的联系，感受数学的简洁性和结构性，体会数学的价值。

　　三、依据单元具体概念，明确学生思考的关键问题

　　基于单元具体概念和学习目标，我们认为：根据乘法的意义和数的意义对数进行拆分的计算方法，尤其是对整十数拆数法的体验和理解，有助于学生理解算理，掌握算法，是本单元的核心。在此基础上沟通方法间的联系，体会通理通法是单元的关键。为此，我们确定了本单元学生思考的关键问题：(如图3)

　　四、依据关键问题，设计单元学习任务序列

　　基于单元具体概念和关键问题，设计了本单元的学习任务序列，共包含13个学习任务，9个课时，形成了单元结构框架，也凸显了单元整体设计的优势。

　　首先，本设计拉长了笔算课时，将横式计算与竖式笔算作为本单元的核心内容，突出理解算理和优化算法的过程，共设计5个学习任务，3课时。为提升学生运算能力，本设计在算理理解的部分放慢脚步，“慢工出细活”地落实知识点，上好种子课，让学生有时间、有机会基于拆分过程，在多次、多种的拆分中，体验到整十数拆数法的普适性，感悟位值的价值。

　　接着，在应用算理算法解决“进位竖式”及“含0竖式”的部分，体现快进，“昂首阔步”地大胆放手，自我巩固应用，提高学生的学习参与度和成就感。

　　最后，重视单元的整理复习，帮助学生“瞻前顾后”地建构整数乘法的知识结构，勾连关系，掌握乘法运算的通理通法，发现整数乘法的一致性。

　　整合后的单元结构、学习任务链及课时划分(如图4)。

　　五、核心课时学习任务说明

　　单元整合的视角下核心课时——“两位数乘两位数(不进位)”设计思路(如图5)。

　　(一)在多样拆分中，感悟能算到好算(第1课时)

　　本节课在“运动会方阵”的情境下，提出24×12如何计算的问题。借助点子图，学生会出现多种算法，在“你是怎么算的?你是如何想到的”追问下，学生逐步发现并形成“通过拆分，实现转化”的数学思维方式，经历“明理”过程。

　　在接下来的学习任务中，学生通过三组计算——22×14、23×13，32×12、17×11，31×22，自主举例，感悟到“拆十”的简洁性和通用性，从而真正认识到十进制的价值，发现优化算法。

　　(二)在尝试探究中，关联横式与竖式(第2课时)

　　本课时的核心目标，一是进一步体会“拆十”的简洁性和通用性；二是让学生理解乘法竖式的书写与乘法横式思考过程的关系(如图6)，实现算理与算法的融通。

　　(三)在巩固应用中，发现竖式的简洁方式(第3课时)

　　本课时目标是巩固两位数乘两位数竖式的算理，掌握算法，简化竖式，提高运算正确率。通过有层次的练习和交流思辨，感悟简写竖式的合理性与简洁性，提高运算能力。

　　六、本单元设计特点

　　(一)几何直观，帮助学生达成理法的融通

　　依据学生认知特点及学情调研结果，本设计借助几何直观，帮助学生延续“拆、分别乘、合”的转化思路；在学生学习的难点处，提供有力的支架，促进学生理解算理，掌握算法，发展能力。

　　(二)单元整体设计，凸显运算的一致性

　　本设计站在单元整体角度，梳理知识结构，提炼单元具体概念，让单元学习任务设计有魂，单元整体设计流程，让单元学习任务序列有逻辑。本单元学习中学生充分感受“拆与合”的计算过程，感悟运算的一致性。

　　(三)瞄准核心素养，提供持续助力

　　素养的最终形成，需要持续的培养。本设计的学习任务序列呈现“前有渗透，后有发展”的特点，体现知识进阶，为学生运算能力的发展提供持续的助力，素养目标真正落地。

　　在后续三位数乘两位数的教学中，笔者惊喜地发现，大部分学生能够自主迁移方法和经验，自觉地联理通法，清晰地说明算理，正确地应用竖式计算，感悟到乘法运算的一致性，提高了运算能力，收到了良好的教学效果。

　　参考文献：

　　[1]吴正宪，刘延革.发展儿童数学关键能力[M].北京：教育科学出版社，2017:62.

　　[2]马云鹏，吴正宪.深度学习：走向核心素养[M].北京：教育科学出版社，2019:91-94.

　　[3]巩子坤，张希，金晶，史宁中.程序性知识课程设计的新视角：算理贯通，算法统整[J].课程·教材·教法，2021(06):89-92.