摘要：文章以忻州师范学院数学与应用数学专业为例，首先阐述了师范专业认证的内涵，然后论述了师范专业认证下“实变函数”课程教学路径，包括健全教师培训体系，提升教师专业素养；扎根专业特色，修订教学目标；定位学生群体，精选教学内容；基于教学内容，采用多元化教学方法；健全课程评价机制。

　　关键词：“实变函数”课程教学；数学与应用数学专业；师范专业认证

　　2017年，教育部印发《普通高等学校师范类专业认证实施办法（暂行）》，这标志着高校师范专业认证工作的开始。《中华人民共和国2022年国民经济和社会发展统计公报》显示，2022年九年义务教育巩固率、高中阶段毛入学率分别提高至95.5%、91.6%，比2016年的93.4%和87.5%有所增长。这表明我国的基础教育水平在逐步提高的同时，对教师质量有了更高的要求，而师范教育作为培养职前教师的专门领域，是国家教育事业的基础。师范院校是师范教育的基本载体，是建立完善教师教育体系的关键，主要为国家培养各个阶段的教师，因此师范院校的高质量发展对国家教师队伍的建设有战略决策作用。

　　忻州师范学院（以下简称“我院”）作为典型的地方师范院校，一直以来致力于为忻州当地培养合格的中小学教师。我院于2020年率先通过专家论证，并于2023年开始实施免试认定改革。数学与应用数学专业是我院的老牌师范类专业，是教育部、财政部确定的国家级特色专业建设点，也是山西省品牌专业。其遵循“加强专业基础，强化教师教育，突出实践应用，形成培养特色”的基本思路，始终坚持面向基层中小学，致力于为基础教育培养输送急需人才，并于2019年获批山西省一流本科专业。师范专业认证显然为本专业的发展带来了契机。“实变函数”是数学与应用数学专业“微积分理论”课程与“泛函分析”课程之间的桥梁课程，该课程教学备受关注。在师范专业认证背景下，如何开展“实变函数”课程教学，是教师应该重点思考的问题。鉴于此，笔者就师范专业认证下“实变函数”课程教学路径加以探析。

　　一、师范专业认证的内涵

　　说到师范专业认证，首先要了解什么是专业认证，其实“专业认证”这一概念源于美国，主要指由专业性的认证机构（相关职业协会与相应专业领域的人员）对高等教育机构所开设的职业性教育专业水平进行评估与认证，为学校培养的人才踏入社会提供质量保障。通常专业认证机构为非政府的中介机构，由行业精英组成，具有丰富的专业认证与评估经验，能够准确指出学校专业问题所在。因此，专业认证本质上是一个评估过程，目的是帮助认证专业进行整改。

　　那么，师范专业认证究竟是什么呢？如果从广义的角度来说，师范专业认证是教师教育领域的新型评估制度，由教师教育专业领域的教育学者或专家及教育机构共同对高校教师教育专业水平进行评估，为学校培养的人才踏入社会提供质量保障，促进其专业水平的提高。从狭义的角度来说，是指依据特定的标准，由不少于三分之一的教育学者或专家在现场进行考察，共同对教师教育专业设置及教学计划进行评估，针对性地提出教师教育专业目前存在的问题并督促其进行改进，以便帮助教师教育专业更好地培养专业教师。

　　近几年，我国的师范专业认证工作已经取得了不小的成就，形成了“学生中心、产出导向、持续改进”的行动理念，标准涵盖了从师范生招生到毕业的全过程，成为衡量师范生教育质量的重要标志。对于地方师范院校来说，师范专业认证整体化的专业建设思路与专业发展要求已得到学校内外的广泛认可，然而“低应用”依然是师范专业认证目前存在的问题，因此地方师范院校各专业在师范专业认证下探寻课程教学路径就显得格外重要。

　　二、师范专业认证下“实变函数”课程教学路径

　　（一）健全教师培训体系，提升教师专业素养

　　健全教师培训体系是地方师范院校各专业提升教师专业素养的重要途径。师范专业认证背景下，我院数学与应用数学专业从理念、模式、方法、评价等多个维度对“实变函数”课程教师培训提出了更加严格的要求，然而在教师培训实践工作开展过程中，出现了一系列现实问题，如培训理念过于僵化、单一，过度重视理论性知识的讲授，忽略了技术的传授；过度地偏重专业的发展，师德教育未能落实到位；过度重视集体性学习，严重忽略了个体需求。因此，加强教师队伍建设，建立一个全面、系统和持续发展的教师培训体系，对于提升教师专业素养来说至关重要，具体分为以下几点。第一，培养教师关注学生需求及个性化教学理念。第二，鼓励教师进行终身学习，了解教育领域的不断变化和发展。第三，建立教师导师制度，尤其是为新教师分配经验丰富的导师，并提供个别指导和支持，以促进新教师的专业成长；加强教师之间的合作学习，通过开展教研活动等形式，促进教师经验交流和共同成长。第四，鼓励教师对教学实践进行反思。通过案例分析，让教师面对实际问题并进行反思，思考教学目标及学生反应，不断改进和优化教学方法，从而培养其解决问题的能力及专业判断能力。第五，采用多元化评价与反馈机制，如通过教学观察、学生评价和同行评估等方式，及时提供具体的评价反馈，以获得全面客观的评估结果，从而帮助教师认识到自身的优势和改进的方向，促进专业成长。此外，在加强教师培训的过程中，要基于师范专业认证理念，采用多种模式和方法，提供全面、个性化的培训方案，使教师能够持续地学习和成长，以提高专业素养，进而提高教学质量。

　　（二）扎根专业特色，修订教学目标

　　地方师范院校各专业以专业特色来彰显人才培养的内涵和质量，故课程教学应与人才培养目标相契合。而教学目标作为人才培养目标在课程教学中的产物，通常由教师根据教学活动实施的方向制定，是教学活动预期达成的结果，在课程教学中非常关键。因此，明确专业特色，并将其与具体的教学目标相匹配，有助于地方师范院校各专业有针对性地设计教学活动和评估方式，以培养出具备专业特色的优秀师范专业人才。为了确保师范生培养质量符合师范专业认证“学生中心、产出导向、持续改进”的行动理念，我院数学与应用数学专业扎根本专业特色，全面解读人才培养目标、教师教育专业标准，修订专业课程教学目标，以便为培养更多合格和优秀的未来教师奠定基础。

　　“实变函数”课程作为数学与应用数学专业的专业课之一，对于培养学生的逻辑思维、分析和解决实际问题的能力具有重要作用。但根据教学反馈，笔者发现当学到测度、可测集、可测数、Lebesgue积分等抽象概念时，学生明显表现出畏难情绪，进而更难将理论与实践相结合，这与师范专业认证的“产出导向”理念不符，而结合学校应用型人才培养要求，根据数学与应用数学专业特色修订“实变函数”课程的教学目标，可以使教学更加贴合专业需求，提高学生的学习动力和学术素养，为他们的专业发展奠定坚实的数学基础。修订后的教学目标如表1所示。

　　（三）定位学生群体，精选教学内容

　　教学内容是教学过程中的关键元素，而精选的教学内容能够为学生提供清晰的学习导向，促进学生综合能力的培养和发展。定位学生群体，精选教学内容，可以为学生群体提供优质的学习经验，并优化学生的学习效果，培养学生的综合素质与技能。因此，我院数学与应用数学专业“实变函数”课程教师基于师范专业认证，通过定位学生群体，精选教学内容。

　　我院数学与应用数学专业人才培养方案将“实变函数”这门课程安排在本科三年级第一学期开设，对于有一定数学基础的大三学生而言，学起来仍然有相当大的难度，再加上该课程概念抽象、理论性强，使得课程的教学效果并不理想。因此，根据学生实际情况，笔者将“实变函数”课程知识体系分为Lebesgue积分与Lemann积分的关系、集合基本理论、测度与可测集、可测函数、Lebesgue积分五大板块，然后根据教学目标，精选出每个板块的概念与定理内容，如表2所示。

　　除此之外，在精选教学内容的基础上深入挖掘思政元素。比如，通过对Eropon定理、Lusin定理、勒贝格控制收敛定理等进行定理证明和推导，培养学生的逻辑思维能力。

　　（四）基于教学内容，采用多元化教学方法

　　目前，我院数学与应用数学专业“实变函数”课程教师对教学内容缺乏启发性与系统性讲解，无法做到“以师范生的学习效果为导向”。为了探索师范专业认证下“实变函数”课程教学路径，应该以师范生为中心，基于教学内容对当前的教学方法进行多样化调整，合理实施教学，这有助于应对不同学生的学习需求和多样化的学习风格，进而提高学生的参与度和学习效果，激发他们对实变函数的兴趣和深入理解。那么如何进行教学方法的多样化调整呢？笔者提出以下建议。

　　第一，问题情境教学法与联想记忆教学法相结合。该方法适用于第一板块，该部分作为数学分析到实变函数的过渡部分，围绕Lemann积分在数学分析中的不足展开描述，涉及数学分析中的基本定理。由于学生对定理已经非常熟悉，很容易在课堂中产生共鸣，因此，可以通过知识回顾与提问使学生对Lemann积分产生疑问，以引出Lebesgue积分。比如，在第一板块引导学生回顾数学分析中经典的Lemann积分的极限与积分次序交换问题：若函数列{fn}在[a，b]上一致收敛，且每一项都连续，则由于学生曾经学过，故而兴趣非常浓厚，此时向学生举例并提问，如果fn（x）=xn（0≤x≤1），f（x）=x≤1，是否满足极限与积分次序可交换？显然答案是可交换的。接着向学生提问，fn（x）是否一致收敛于f（x）？学生经过讨论得出fn（x）并没有一致收敛于f（x），只是点收敛于f（x），但仍然满足结论。因此，Lemann积分意义下的lemann积分的极限与积分次序交换问题是不严密的，需要引入新的积分来解决Lemann积分的严密性问题。

　　第二，案例分析教学法与直接讲授教学法相结合。这种方法适合于第二板块中点列的研究，可以通过举特殊点列的方式来理解相关概念。比如，对于“上下极限集”，学生很难理解因此可以举例说明，给出点列{Ak}:

　　A1={1，a}；A2={0，b}；A3={1，b}；A4={0，b}；A5={1，b}……

　　利用公式对该数列取上极限：

　　当n=1时，N1=k1Ak=

　　当n=2时，N2=

　　此时，N1与N2取交集时，A1就可以不再考虑。a仅属于A1，那么N1∩N2将不再包含a。以此类推，若a只属于有限个Aj，那么在取上极限的过程中将被舍弃。则可得到

　　第三，多媒体教学法与图示教学法相结合。这可以增强学生的视觉和听觉体验，为其提供多样化的学习方式。比如，在讲到第二板块的Cantor-Bernstein定理时，可以通过作图演示的方式描述如何构建{An}到{Bn}的映射，为Cantor-Bernstein定理的证明奠定基础，如图1所示。

　　第四，小组合作教学法与探究式教学法相结合。这种方法适合第三板块的外测度、可测集定义，第四板块的可测函数，以及第五板块的Lebesgue积分等抽象且对学生的逻辑思维要求较高的内容。比如，在学完第三板块的可测集之后，教师可以向学生提问：“是否所有的集合都可测？”这引起了学生的好奇心，进而通过讨论得出“并不是所有点集都可测”的结论。由此，教师引出不可测集，并向学生提问：“是否能对不可测集有统一的定义？”学生继续讨论。笔者曾在课堂上遇到学生提问：“老师，不可测集的学习有什么意义？”这个问题问得非常好，说明学生并不是不愿意学，只要教师善于引导，学生也会作出积极的课堂反馈。

　　（五）健全课程评价机制

　　建立健全的课程评价机制可以促进学生的全面发展和学习动力，帮助教师更好地了解学生的学习情况并提供指导。教育部印发的《关于普通高等学校本科教学评估工作的意见》指出：“应特别注重教师和学生对教学工作的评价，注重学生学习效果和教学资源使用效率的评价……建立健全学校本科教学质量保障体系。”目前，我院数学与应用数学专业“实变函数”课程评价存在内容片面、方法单一、结果使用不当等问题，且一直以来缺乏学生的积极反馈。而师范专业认证要求所有师范专业应在规定时间内接受认证。这就为“实变函数”课程评价提供了新的思路，对提高“实变函数”课程评价质量具有重要意义，进而推动数学与应用数学专业的人才培养目标体系化建设。

　　第一，制定科学的评价指标。即不仅要明确评价目的，还要参考相关标准，确保评价指标覆盖教学设计与准备、教学实施与管理、教学反思与改进等多个维度。另外，要确保评价指标具有区分度，即根据评价的重要性和权重合理分配各项评价指标的权重，以便区分不同水平的教师。此外，要对评价指标进行定期的审查和更新，确保其与实际需求和最新发展保持一致。

　　第二，采用多元化的评价方式。多元化的评价方式能够提供全面的教学信息，有助于教师全面了解自己的教学表现和学生的学习状况。具体来说，课堂上采用小组讨论、章节测试等方式，课后采用访谈法、观察法、问卷调查法等方法，从而构建形成性评价和总结性评价、自我评价与外部评价相结合的多元化评价体系。

　　第三，使用多样化的评价工具，包括问卷调查、观察记录、学生作业评价等。要提供不同角度和维度的数据，帮助教师全面了解学生的学习状况和教学效果。

　　三、结语

　　师范专业认证作为提升师范教育质量的重要保障，近几年在国家的支持下迅速发展，并对专业课程教学提出了新的要求。而“实变函数”作为数学与应用数学专业的专业课之一，在学生的培养过程中占据重要地位。鉴于此，从师范专业认证出发，对“实变函数”课程教学路径进行探究，具有重要的现实意义。作为“实变函数”课程教师，要把握师范专业认证的要求，并将其逐步落实到课程教学的各个环节，这样才能提高课程教学质量，进而推动师范类专业人才培养质量的持续提升。

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