摘要:据统计，强基计划校考中65%的题属于课内范围，这说明教材是强基计划校考试题命题的基本依据，不少强基计划校考试题都有教材背景，是教材上经典例题、习题、定义、定理的组合改编，甚至有时就是原题，所以大家要对教材中经典的题目特别关注，关注其解法，关注其变式，争取达到做一题通一类的效果．笔者现以2020年复旦大学强基计划试题的第18题为例，从一题多解、寻根探源与同源变式的角度来进行分析．

　　关键词:强基计划;一题多解;寻根探源;同源变式

　　1真题呈现

　　题目在△ABC中，AB=9，BC=6，CA=7，则BC边上中线长度为．

　　此题乍看十分普通，细细品味后却发现内涵丰富，给人启迪．深刻而不深奥的一道试题既考查了学生数学建模能力，又考查了直观想象、数学运算等能力．

　　2解法探究

　　如图1，取BC边的中点为D，连接AD，即求AD的长．

　　视角1借助公共角B(或角C)．

　　解析不妨借助公共角B．

　　在△ABC中，由余弦定理有

　　AC2=AB2+BC2－2AB·BC·cosB．

　　视角2借助∠ADB+∠ADC=180°．解析在△ADB中，由余弦定理有AB2=BD2+AD2－2BD·AD·cos∠ADB．

　　即AD2－6AD·cos∠ADB－72=0．①

　　在△ADC中，由余弦定理有

　　AC2=CD2+AD2－2CD·AD·cos∠ADC．

　　所以AD2－6AD·cos∠ADC－40=0．

　　因为∠ADB+∠ADC=180°，

　　故cos∠ADC=cos(180°－∠ADB)=－cos∠ADB．

　　所以AD2+6AD·cos∠ADB－40=0．②

　　由①+②，得2AD2=112．

　　设CE=x，则由勾股定理可得

　　AC2－EC2=AB2－BE2．

　　视角8借助平行四边形的性质:平行四边形的两条对角线的平方和等于平行四边形的两邻边的平方和的2倍．

　　解析如图4，延长AD于点E，使AD=DE，连接BE，CE，易知四边形ABEC是平行四边形．

　　由平行四边形的性质，得BC2+AE2=2(AB2+AC2)．

　　所以62+AE2=2(92+72)．

　　视角9建立适当的平面直角坐标系，借助两点间的距离公式．

　　从表达形式可以看出，这道强基计划试题是教材中的试题进行数据改编而得的．近几年的自主招生，强基计划，各种竞赛试题的命制越来越新颖多变、形式多样，但万变不离其宗，它们都可以在教材中找到原型．因此，需要我们在平时的学习过程中留意对课本例题、习题、练习题的训练，要熟练地进行求解，掌握问题求解的通性通法，同时进行一题多解和多变练习，抓住实质，做到“胸中有本”，以不变应万变，一题一世界，一题可破万题山．

　　4同源变式

　　变式1(2017年北京大学自主招生第6题)若三角形三条中线长度分别为9，12，15，则该三角形面积为()．

　　A．64 B．72 C．90 D．前3个答案都不对

　　解析如图6，设△ABC的三边分别为AB=c，BC=a，CA=b，三条中线分别为AD=9，BE=12，CF=15．

　　5解题启示

　　教材是专家们花费大量心血进行千锤百炼、字斟句酌编写而成的，教材具有示范性和权威性，纵观近几年的自主招生、强基计划试题，可以发现许多试题都能找到课本习题、练习、例题的影子，试题中不变的是知识和思想方法，变化的无非是呈现的方式、问题的结构方式．这就要求我们平时在教学中，要对教材中经典的题目、具有代表性的题目特别关注，关注其解法，关注其变式，使学生知一题而懂一类．在提炼这些问题的基本方法、常规方法的同时，还要掌握不同题型的“秒杀法”，不论试题构思如何新颖，学生都能自如应对．

　参考文献:

　　[1]中华人民共和国教育部．普通高中数学课程标准(2017年版2020年修订)[M]．北京:人民教育出版社，2020．