摘要:在数学学习中，教师不仅要指引学生学习的方向，还要引导学生去反思更多的数学问题．文章从引导学生理解数学定义本质、逆向应用数学定理、比较还原数学图形、多角度反思数学方法等四个方面来阐述.

　　关键词:引导;感悟;本质

　　1发现问题

　　2提出问题

　　为什么学生知道本题是逆用同底数幂的乘法法则，但逆用的过程却出错呢?

　　3分析问题

　　幂的四种运算:

　　(1)积的乘方(ab)n=an bn

　　(2)幂的乘方(am)n=amn

　　(3)同底数幂的乘法am·an=am+n

　　(4)同底数幂的除法am÷an=am－n

　　幂的运算法则的应用，主要关注的就是指数之间的进行运算.

　　幂的四种运算法则的逆用:

　　(1)积的乘方an bn=(ab)n

　　(2)幂的乘方amn=(am)n

　　(3)同底数幂的乘法am+n=am·an

　　(4)同底数幂的除法am－n=am÷an

　　幂的运算法则的逆用过程，只有幂之间的乘除关系，没有加减关系.

　　学生之所以出现错误，原因就在于对幂的运算法则的理解缺少感悟———没有明确幂运算法则的逆用只有乘除关系，没有加减关系，如果学生理解这一点，错误就不会发生了.

　　《义务教育数学课程标准》指出:数感主要是指关于数与数量、数量关系、运算结果估计等方面的感悟;关于“零指数”教学方案的设计可作如下考虑:教学目标不仅要包括了解零指数幂的规定，会进行简单计算，还要包括感受这个规定的合理性，并在这个过程中学会数学思考、感悟理性精神;学生在积极参与教学活动的过程中，通过独立思考、合作交流，逐步感悟数学思想.

　　教师的引导作用主要体现在:通过恰当的问题，或者准确、清晰、富有启发性的讲授，引导学生积极思考、求知求真，激发学生的好奇心.

　　由此可见，在数学教学过程中，我们不能轻易放过出现的问题，不能轻易放过学生提出的疑问，而是要带领学生及时对出现的问题、产生的疑问反思，找出问题的根源、疑问的解决方法，这就是对数学的感悟.

　　4解决问题

　　4．1增强对数学定义的感悟能力———看破本质例2分解因式6a(1－b)2－2(b－1)2

　　学生做法:6a(1－b)2－2(b－1)2=(1－b)2(6a－2)

　　教师引导过程:

　　教师:这位同学的做法错在哪里?

　　学生:(6a－2)没有分解完.

　　教师:那应如何继续分解?

　　学生:(6a－2)=3(3a－1)

　　教师:为什么会出现这种错误呢?

　　学生:应该一开始就提取公因式

　　教师:所以正确的做法应该为?

　　学生展示:6a(1－b)2－2(b－1)2=6a(b－1)2-2(b－1)2=2(b－1)2(3a－1)

　　教师:正确!请大家继续思考，如何避免类似错误再次发生?

　　学生:……

　　教师:因式分解的结果要求分解到不能再分解为止，所以建议大家每次因式分解结束，请一定要检查，是否分解到位!尤其是公因式是否提取完整!

　　学生没有分解到位，而这也是学生最容易犯的错误．学生之所以没有分解到位，表面上是因为公因式提取不完整、不全面，而深层次的原因是对因式分解概念本质理解的不清晰.

　　因式分解是指将一个多项式写成整式乘积的形式，而因式分解的结果有三个要求:

　　(1)结果必须是乘积形式;

　　(2)结果每一项必须是整式;

　　(3)结果每一项必须分解到不能再分解为止.

　　这三个要求就是对因式分解本质的解读．上述案例出错的原因是没有达到因式分解的结果的第三个要求.

　　因此在教学过程中，引导学生每次分解结束，要检查结果是否分解到位;先考虑提取公因式，而公因式先要考虑系数.

　　4．2增强对数学定理的感悟能力———逆向思维

　　例3如图1，直线AB、CD被直线EF所截，∠1=75°,下列说法正确的是().

　　学生思路1:先看A选项，因为∠4=75°,所以∠3=105°,但∠3≠∠1，所以AB不平行于CD．依次类推，选择B

　　学生思路2:由AB∥CD，∠1=75°,可以得到∠2=∠3=75°,∠4=105°,从而确定B正确.

　　两种思维过程都是正确的，思路1是多数学生会想到的，是学生做题一般的思维过程．但为什么思路2也可以得到正确答案呢?因为“两直线平行，同位角相等”与“同位角相等，两直线平行”是一对互逆真命题，故可以逆向思考.

　　初中几何结论中，还有很多互逆真命题，像勾股定理及其逆定理，直角三角形两锐角互余与两角互余的三角形是直角三角形等等，教师要及时引导学生建立互逆命题之间的联系.

　　在具体解决数学题时，也可以引导学生进行逆向思考.

　　例4如图2，在口ABCD中点O是边BC的中点，连接DO并延长，交AB延长线于点E，连接BD，EC.

　　(1)求证:四边形BECD是平行四边形;

　　(2)若∠A=50°,则当∠BOD为多少时，四边形BECD是矩形.

　　在解决第(2)个问题时，可以考虑先假设四边形BECD是矩形，逆向推出∠BOD的度数.

　　4．3提高对数学图形的感悟———比较还原

　　例5已知，∠AOB=90°,点C在射线OA上，CD∥OE.

　　(1)如图3，若∠OCD=120°,求∠BOE的度数;

　　(2)把“∠AOB=90°”改为“∠AOB=120°”,射线OE沿射线OB平移，得O'E，其他条件不变，(如图4所示)，探究∠OCD、∠BO'E的数量关系;

　　(3)在(2)的条件下，如图5，作PO'⊥OB垂足为O'，与∠OCD的平分线CP交于点P，若∠BO'E=α,请用含α的式子表示∠CPO'(请直接写出答案).

　　学生思路:
       (1)因为CD∥OE，所以∠EOC=∠OCD=120°,所以∠BOE=360°-∠EOC-∠COB=150°

　　(2)如图6，过O作OF∥CD，那么OF∥OE'，

　　所以∠COF=180°-∠OCD，∠FOB=∠OO'E

　　所以∠COF+∠FOB=180°-∠OCD+∠OO'E=∠AOB=120°,即∠OCD-∠OO'E=60°.

　　又因为∠OO'E=180°-∠BO'E，

　　所以∠OCD+∠BO'E=240°.

　　可以看出，学生把前两个图形孤立来看，两幅图两个思考过程．这无形增加了思维量，也降低了解题效率.

　　引导过程:

　　教师:请同学们仔细观察，图4与图3比较，哪里发生了变化?

　　学生:射线OE的位置，∠AOB的大小.

　　教师:通过你们的做法，可以看出∠AOB的大小，不影响思考过程．那么射线OE位置的改变，导致你们思维过程的变化．那能否还原O'E的位置到OE')呢?

　　学生:平移不改变图形的大小、形状．也就不改变∠BOE的大小．(这就是感悟的过程)

　　教师:说的很好，这就是关键!当还原OE后，是否借助第(1)问的思维过程进行书写?

　　学生:可以发现，∠E'OC=∠OCD，

　　那么∠EO'B=∠E'OB=360°-120°-∠OCD=240°-∠OCD

　　教师:很明显，既简化了思维过程，也简化了书写过程.

　　教师:请同学们继续思考，前两问产生了联系，那么第(3)问呢?

　　学生:可以将结论∠OCD、∠BO'E的数量关系直接应用到.

　　因为∠OCD+∠BO'E=240°,所以(∠OCD+∠BO'E)=120°.

　　又因为CP平分∠OCD，所以∠OCP+α=120°.

　　利用四边形COO'P内角和为360°,就可以用含α的式子表示∠CPO'.

　　教师:讲解正确．确实将发现的结论可以直接利用来解题.

　　总之，在数学教学过程中，既要时时刻刻关注学生出现的问题，又要时时刻刻对自己的教学进行反思，在感悟中提升，在感悟中进步.

　　［1］许建平．在学习过程中引导学生感悟数学的基本思想［J］．教师，2013(36):40.

　　［2］杨虎．引导下设疑设疑中追问———一次习题课的教学经历与反思［J］．中小学数学(高中版)，2016(06):19－22.