摘 要: 错题讲评课是一种重要的课型，教师在讲评时，不能满足于一题一讲，也不应止步于形 式上的一题多解，一题多变，而应该抓住机会，适时引导，还主体于学生，鼓励他们独立思考，类比细究，拓展延伸，归纳感悟.

　　关键词: 错题讲评,思维品质,细究感悟

　　如何在数学课堂教学中落实数学核心素养的培养，一直是一线教师的重要课题.错题讲评课是一种 重要的课型，它不仅是知识掌握的一个必要环节，可 以帮助学生找到思维盲区，纠正错误，拓展思维，开 发创造性等，也可以帮助老师弥补新授课中的教学 不足，同时，也能很好地提升逻辑推理、数学运算、分 析问题、归纳概括等能力.但我们经常听到教师会抱 怨，讲评过的错题，为何学生又错? 自认为讲清楚 了，其实学生还没有听懂; 自认为简单的，学生觉得 难; 自己滔滔不绝 40 分钟，口干舌燥，学生却掌握甚 少; 学生课堂听懂了，课下又忘了......很是无奈. 不能调动学生积极性，不能让学生思维处于活跃状 态下的错题讲评课，仅有老师一人滔滔不绝的分析 错因，讲解正确思路，哪怕老师讲得口干舌燥，学生 也未必买账，效果必然是低下的.那如何能让讲评课 收到好的效果呢? 现笔者结合自己的教学实践，从 四个方面对错题讲评方式展开探究与思考.

　　1 由此及彼，类比讲评

　　类比方法是一种重要的数学思维方法，它可以 使知识条理化，把复杂的问题简单化，它能帮助学生 融会贯通所学的知识，提高学生分析问题、解决问题的能力，同时能较好地培养学生的逻辑思维能力和 创新能力.

　　评注题 1 为上完新授课 2.4.1 平面向量数量 积的物理背景及其含义后作业本中的题目，由于当 时仅讲了数量积的定义，所以在作业讲评时仅讲了 “基底法”，如何选基底，如何运算.题 2 为上完新授 课 2.4.2 平 面 向 量 数 量 积 的 坐 标 表 示、模、夹 角 ( 二) 后作业本中的题目，由于此课时是数量积的坐 标表示，所以“坐标法”必然是要讲评的.但作为一 名教师，如果仅仅会当下学啥就只讲啥，那就太片面 了，不利于学生数学知识的系统提升.笔者在讲评课 时，遇到同类、相似问题就很喜欢让学生往前翻翻作 业本，比如讲到题 2 时，等学生领会“坐标法”后，笔 者就让学生翻到作业本 57 页，让学生比对这两道 题，不说多余的话，就给学生充足的时间去比对，去思考，去动手演算，去感悟.结果学生自己就能发现 原来这两道题是同一种题，题 1 也可以利用正三角形图形本身的对称性建系，从而用“坐标法”解决， —→ —→基底，从而用“基底法”解决.代数法( 基底法，坐标法) 是解决向量问题的重要方法，通过这样的类比讲评，重 点突出，从老师引导学生类比，到学生自主类比，从而 感悟总结，学生思路更清晰，理解更到位，知识更成系 统，学生的思维能力也得到了很好的提升.

　　题 3 若函数f( x) = log2 ( x2 + 2ax -a) 的定义 域为 R，则实数 a 的取值范围为 ;

　　题 4 若函数f( x) = log2 ( x2 + 2ax -a) 的值域 为 R，则实数 a 的取值范围为 .

　　评注 题 3 与题 4 学生常常将“定义域为 R、值 域为 R”搞混，只知道时而△<0.时而△≥0.但是弄 不清楚何时用哪个.如果老师讲评时，能将这种“形 同而质不同”的题目放在一起进行类比讲解，必能 激发学生的好奇心、探究欲望，变被动思维为主动自 觉思维，从而引发学生仔细掂量，认真剖析，真正从 问题本质去挖掘，得到的学习效果也就自然不一样 了.题 3 是定义域为 R，即不管 x 取何值，对应的整 个真数都要大于 0.即转化为 x2 + 2ax -a >0 恒成 立，所以△<0.题 4 是值域为 R，也就是要确保整个 真数能取遍一切正数，一个值也不能落下，那么只能 y = x2 + 2ax-a 这个二次函数与 x 轴有交点了，所以 △≥0.学生做错题目不可怕，可怕的是学生仅停留 在简单的记忆模仿上，时间一长必然忘记.通过类比 讲评，让学生悟透问题本质，才能从根源上消除再次 犯错的隐患，类比讲评很好地培养了学生的差异性 思维，提升了学生的类比分析能力，对提升数学素养 大有裨益!

　　2 借题发挥，拓展讲评

　　拓展讲评就是俗话说的在原有题目的基础上， 增加新的东西，延展加深.老师在讲评作业本、试卷 中的错题时，不要“就题讲题”，我们可以借题发挥， 针对错题进行一题细研、一题多法、一题多变，它实 现的不仅仅是表面上数量的变化，而是质量的变化.拓展讲评可以拓展学生思维的广度，挖掘思维的深 度，提升思维的高度.

　　题 5 已知向量 a = ( 2.λ)，b = ( 3.-4 )，且 a ·b的夹角为钝角，则 λ 的取值范围为 .

　　题 6 已知角 A = 60°，a = 3.求△ABC 的周长的 取值范围.

　　题 7 已知数列{an }，a1 = 1.an + 1 = 3an + 2.求 数列的通项.

　　评注 题 5 不少学生都做出答案 λ >3/2来了，少数学生错的题目是不是就不用讲评了呢? 非也! 要知道有时学生答案对，思维未必就严密.笔者抛出 变式: 如果 a = ( -2.λ)，b = ( 3.-4)，答案又如何? 果然很多同学只考虑数量积小于 0.而忽略 cosθ >-1 这个条件，出来错误答案 λ > -3/2笔者不动声 色，在黑板上写下答案为 λ > -3/2且 λ ≠8/3.大家觉 得诧异，勾起了好奇心，开始探究讨论，发现其实应该 满足-1<cosθ <0，<cosθ<0.< p="">钝角不包括 180°.由于原题中的向 量 a 与 b 不会出现反向共线的情况，所以同学们漏掉一头还是出来了正确答案，学生思维中有不严谨性，老 师要有这种预判能力，借助题目，慢慢细研.

　　题 6 是三角函数章节检测中某题的第二问，少 数做对的学生普遍是由余弦定理得 b2 + c2 -9 = 2bccosA = bc，进而使用基本不等式得到 3从而得到周长的范围.笔者在讲评时表扬了这种 做法，简洁、计算量少，同时询问学生还没有别的思 路，引导学生处理范围问题实际上就是处理值域问 题，在三角函数区块处理值域我们最擅长的是什么 法? 学生立马回答合一变形为 Asin(wx+φ)模 式，继续问此处谁是变量? 显然是“角”，继续追问 那周长是个边的问题，如何转化为角呢? 在老师的 引导下，学生自然知道可以使用正弦定理化边为角

　　笔者问道“两种解法，感受如何?”学生异口同声“我 们的解法快，计算量少.”笔者笑笑，肯定了学生，同 时在黑板上写下“求 2b -c”，学生立马觉悟基本不等式不管用了，以角为自变量的函数思想来依然可以处理此题，将它化为2b-c=6sin(B-π/6)即求得范围，所以函数思想才是通性通法.笔者讲评试卷中 的错题时，借题发挥，适时引导，让学生体会基本不 等式和函数思想两种解法各自的优势所在，让学生 亲历由“误”到“悟”的过程，实现悟一题通一类，让 学生跳出题海，减轻负担!

　　题 7 为初学等比数列后的常见题目，在递推式 的两边同时加 1.得到 an + 1 + 1 = 3an + 3 = 3 ( an + 1)，构造出一个公比为 3.首项为 2 的新等比数列 {an + 1}问题就迎刃而解了.但是如果老师仅仅是就 题讲题，泛泛而谈，尤其是后期复习阶段，学生拥有 一定的构造能力时，更不能单讲题 7.老师应抓住此 题，借题发挥，进行一题多变，将递推式变为变式 1 : an + 1 = 3an + 3n + 1.变式 2: an + 1 = 2an + 3n + 1.让学生观 察变式 1.变式 2 与原题的不一样之处，结合学生已 经会处理 an + 1 = Aan + B( B 为常数) 型的题目了，引 导学生如何转化不熟悉题目为熟悉题目? 学生很容 易联想到将 3n + 1位置变成常数就可以了，如何变为 常数呢? 只需两边同除 3n + 1 即可，后面就一切顺理 成章了.借题发挥没有结束，继续抛出变式 3 : an + 1 = 3an-4n + 2.又将如何呢? 似乎不能变成常数来处 理了，老师可以再次引导学生观察原题 an + 1 = Aan + B( B 为常数) 型，我们是如何找到一个新的等比数 列的? 本质是把常数 B 拆分了，使得左右两边刚好 an + 1 + C = A( an + C)，从而构成了新的等比数列.在 此引导下，学生就会把握本质，将“-4n + 2”进行拆 分，找到 an + 1 -2( n + 1) = 3 ( an -2n)，从而构造出 新等比数列.借题发挥结束了吗? 没有! 变式 2、变 式 3 是否也可以直接拆分 3n + 1 呢? 事实上变式 3 可 以拆分为 an + 1 -3 ·3n + 1 = 2( an -3 ·3n )，这样就直 接找到等比数列{an -3 ·3n }，而不需要变为 an + 1 = Aan + B( B 为常数) 型再去构造等比了.

　　3 多题一法，归纳讲评

　　在学生的错题中存在一些“形不同而质同”的 好题，它可以事半功倍地提升学生的思维品质、数学 素养，但是光有好题不够，需要有一 双发现它的眼睛，如果针对这些“形不同而质同”的题目，老师只 是给一个正确解法，不去深究，那么题目依然是散 的，学生 听 完 后 领 悟 不 深 刻，下 次 出 错 率 依 然 会 很高.

　　题 10 平 面 向 量 a，b 的 夹 角 为 60°，且a-b= 1.则的最大值为 ;

　　评注 题 8 是在我们学习完“同角三角函数的 基本关系”后必能碰到的题型，称之为“齐化切”思想，利用sinα/cosα=tanα分子分母同除 cosα 后，问题中的正弦、余弦转化为正切、常数，从而求值.第二空由 于不是分式，引导学生利用平方关系sin2 α + cos2 α = 1 将它转化为分式后就又可以齐化切了.学生初学 时觉得很赞，方法很妙，名字“齐化切”也朗朗上 口. 题 9 初看一道数列题，抓住首项与公差，转化为不等

       思路就终止了.题 10 是 2020 学年第一学期杭州市 高三统测的填空题 16 题，学生会把条件平方得到a2 +b2 -ab= 1.也会把目标变为求a2 +ab的最大值，但是怎么求，没想法了.为何题8 学生耳熟能详，看到都会做，但是面对题 9.题 10. 却没了方向? 问题是不是出现在我们老师讲错题时 仅仅做到“就题讲题”，而没有很好地去引导学生总 结归纳呢? 所以学生看到的都是分散的，不系统的. 如果我们老师平时讲评这些“形不同而质同”的错 题时，能多多引导学生去观察、感悟、就不难归纳出 这里是多题一法，就会发现他们本质是一样的，都是 处理二元问题，那么只需要同“齐化切”一样，化二 元问题为一元问题即可.题 9 中只需要分子分母同

     函数的最值问题变为一元函数的最值问题.我们常 说要针对学生的最近发展区实施教学，既然题 8 是 学生耳熟能详的，那为何不引导学生去悟透呢? 三 角、数列、向量看似三个不一样的知识区块，虽形不 同但质同，老师需要实施多题一法，引导学生归纳总 结出通性通法，通过有限道题的探究去领悟解决无 限道题的数学机智，真正提升学生分析问题，解决问 题的能力.

　　4 角色互换，学生讲评

　　富兰克林曾说: 告诉我，我会忘记，教给我，我可 能记住，让我参与，我才能学会.错题讲评的目的是 对学生所学的知识进行查缺补漏，必须充分调动学 生的积极性，让学生直接参与到课堂中来是最有效 的方式.故可以采用学生讲评和教师讲评结合的方 式，与教师讲评相比，学生的思维相通，通过学生间 的语言交流也许更能让那些不会的同学豁然开朗， 学生讲评可以使学生在讲评中相互启发，共同提高.

　　题 10 平 面 向 量 a，b 的 夹 角 为 60°，且a-b= 1.则 a · ( a + 2b) 的最大值为 ;

　　再看题 10.笔者讲评时为了突出多题一法，所 以是引导学生将二元问题转化为一元问题来处理 的.讲评完后，立马有学生举手示意了，他们有不一 样的想法.这时老师千万不要因为讲评整张卷子时 间紧张，而错失一次让学生展示、成长的好机会，就 该让他们畅所欲言，各抒己见.

　　学生 2: 建系我也想到了，就是后面要三角换元 我没有想到.

　　师: 很好! 学生 1 讲了我们处理向量问题的基 本法( 坐标法)，又很好地帮助我们复习了三角换 元，太值得了!

　　学生 4: 利用求根公式用a表示b，我也想到 了，但是后面看着函数关系式太烦，不知道怎么求最 值就放弃了，当时忘记用导数了.

　　师: 不错! 虽然计算看起来繁琐，但是把握住了 函数思想的本质，条件给了二元a，b的关系式， 必能用其中一个表示另一个，从而实现二元变一元. 同时也提醒了大家，求最值的法宝导数.

　　错题讲评教学在数学教学中有着重要的地位， 教师在讲评时，不能满足于一题一讲，也不应止步于 形式上的一题多解，一题多变，而应该抓住机会，适 时引导，还主体于学生，鼓励他们独立思考，类比细 究，拓展延伸，归纳感悟.教师不只要交给学生数学 知识、思想方法，更要教会学生如何思考，探寻从无 到有，从有到优的思路，如此才能提升、优化学生的思维品质，这样的讲评课才是有效的.

参考文献:

　　[1] 唐俊涛.解题细节促能力 课堂教学育素养 [J].中学教研( 数学)，2018( 11) : 8 -11.

　　[2] 刘成龙，蒋红珠，叶薇.对一 个二元最值问题的探究 [J].中学教研( 数学)，2018( 10) : 19-23.

　　[3] 武瑞雪.摭谈数学试卷讲评课的“四要”“四不要”[J].中学数学教学，2017( 5) : 19-22.