摘要:文章介绍了函数的凹凸性，并从函数凹凸性的视角，利用切线放缩对一类双零点的函数压轴题进行解答，并归纳其规律．

　　关键词:凹凸性;切线放缩;双零点;数形结合

　　函数的凹凸性是高等数学研究函数的性质之一，虽然高中数学中没有对函数的凹凸性作具体要求，但以函数凹凸性为背景的试题屡见不鲜，这些试题情景新颖，能考查学生的创新能力和潜在的数学素质，常作为压轴题出现．

　　下面简单介绍函数的凹凸性，并从函数凹凸性的视角，利用切线放缩对一类双零点的函数压轴题进行探究，供大家参考．

　　1函数的凹凸性及常用性质

　　1．1凹凸函数的定义

　　1．2凹凸函数的常用性质

　　1．2．1凹凸函数的判定定理

　　设f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内具有一阶和二阶导数，那么:

　　若f(x)在(a，b)内有f″(x)＞0，则f(x)在[a，b]上是下凸函数;

　　若f(x)在(a，b)内有f″(x)＜0，则f(x)在[a，b]上是上凸函数．

　　1．2．2切线放缩(切线不等式)

　　若f(x)在区间I为下凸函数，则对于∀x0∈I，有f(x)≥f'(x0)(x－x0)+f(x0);

　　若f(x)在区间I为上凸函数，则对于∀x0∈I，有f(x)≤f'(x0)(x－x0)+f(x0)．

　　评注下凸函数图象上任意一点的切线在函数图象的下方，上凸函数图象上任意一点的切线在函数图象的上方．

　　2切线放缩估计函数双零点范围的基本原理

　　若f″(x)＞0，则f(x)在区间Ⅰ为下凸函数，因此f'(x)在区间I上单调递增，从而f(x)最多有一个最小值，即下凸函数的图象仅有两种形态:无最小值型(如图1)和有一个最小值型(如图2)．

　　若f(x)在区间Ⅰ为下凸函数，且f(x)有最小值，f(x)的图象与y=m交于A(x1，m)，B(x2，m)两点，f(x)在点C处的切线l1，在点D处的切线l2(如图3)．这样我们就可以利用切线l1与l2和y=m的交点来估计x1与x2相关的范围，这是切线放缩估计函数双零点范围的基本原理．

　　对于上凸函数，其原理与下凸函数类似，限于篇幅，不再给出．

　　3典型例题

　　评注上述典例中问题(2)的命题背景都是立足于函数凹凸性中的切线放缩，解题思路是通过切线与直线y=m的交点横坐标来估计出两个零点和(或差)的范围．切线放缩法能降低思维强度，简化推理和运算过程，具有直观、简洁的特点，解题方法新颖独到，充分体现数形结合的魅力．需要注意的是，在例3中如果选择曲线y=f(x)在x=1处的切线方程为y=(x－1)来放缩，则得不到想要的结果，因为当x∈(0，1)时，切线y=(x－1)并不在曲线y=f(x)的上方(如图7)．所以，准确选择切线是解题的关键．

　　以函数凹凸性中的切线放缩为命题背景的试题还有很多，通过以上几道例题，不难体会函数凹凸性等相关知识的丰富性，虽然函数凹凸性不属于高中数学的内容，将其“镶嵌”在高中试题中可谓独具匠心．这也表明:高等数学的相关理论是命制一些具有创新力与区分度试题的重要来源．若能多了解一些函数凹凸性的相关理论知识，可以“登高望远”，便于找到问题的本质内涵，养成对试题背后的内在关系进行分析与思考习惯．

　　最后提供两个题目作为练习，以加深体会切线放缩的解题思路．

　　参考文献:

　　[1]林国红．拨云见月解法自然来———2018年全国卷Ⅲ理科第21题的解法探析[J]．中学数学研究(华南师范大学版)，2019(07):53+1－2．

　　[2]林国红．2020年高考全国Ⅲ卷理科第21题的探析[J]．中学数学研究(华南师范大学版)，2021(01):53+1－3．

　　[3]中华人民共和国教育部．普通高中数学课程标准(2017年版2020年修订)[M]．北京:人民教育出版社，2020．