[摘要]课堂教学改革已经成为教育领域的核心议题。在这一改革的浪潮中，学生在课堂上的中心地位已经得到了广泛的认同和重视。这种转变意味着，教师不再单纯地作为知识的传递者，而是更多地成了学生学习过程中的引导者和伙伴。在这样的背景下，对学生主体地位的尊重，尤其是对学生已有的数学认知的尊重，显得尤为重要。本文从课堂教学中的一些实例出发，分析了儿童已有认知的类别，从对比、归纳、引领、合作四个方面提出了注重儿童已有认知，提高课堂教学有效性的四种策略。

　　[关键词]数学认知已有认知课堂教学

　　新课标指出：教师教学应该以学生的认知发展水平和已有的经验为基础，面向全体学生，教学活动应注重启发式，激发学生学习兴趣，引发学生积极思考，鼓励学生质疑问难，引导学生在真实情境中发现问题和提出问题，利用观察、猜测、实验、计算、推理、验证、数据分析、直观想象等方法分析问题和解决问题。课堂教学的过程就是以儿童已有数学认知为起点建构新的数学知识体系的过程。但在当下的课堂教学中，以下一些情况还时有发生。

　　一、对儿童已有数学认知的“伪尊重”

　　【案例一】

　　师：既然圆的周长和直径有关，那圆的周长和直径到底有怎样的关系呢？请你猜想一下。

　　生1：我感觉圆的周长是直径的3倍多。

　　生2：我认为圆的周长应该是它直径的3.14倍。生3：我觉得圆的周长是它直径的3倍。

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　　【问题诊断】

　　表面上看，教师很尊重学生，充分征询学生的想法。教学从“猜想”开始，进而进入验证环节，渗透了合情推理的数学思想，教学风格比较“时髦”。但我们可以细想几个问题：第一，这种凭空猜想的依据是什么？第二，猜对和猜错对教学的深入进行有意义吗？第三，圆的周长和直径的关系，也就是圆周率，孩子是否一无所知？

　　很明显，这种猜想颇有“作秀”的意味，“猜”对的学生都是有所了解，“猜”错的学生大多信口胡说，配合作秀而已。教师所忽视的是儿童对数学概念的已有认知，课堂教学的效率显得低下。

　　【案例二】

　　教师出示（图1）。

　　师：像这样每次框2个数，一共可以得到多少个不同的和？

　　生1：可以得到9个不同的和，算式是10-2+1=9（个）。生2：我来补充，每次框几个就是10减几加1。

　　生3：我还有补充，如果一共有a个数，每次框b个数，那么就能框a-b+1个和。

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　　师：我们还是先看黑板上这个例子，每个同学用活动袋的卡片摆一摆，看能得到多少个不同的和？

　　【问题诊断】

　　可以看出这个班的孩子具有很高的数学素养，抽象概括能力非常强，也非常善于从同伴那里得到启发。孩子们的这些回答是课堂上很宝贵的生成性资源，如果顺势而为，善加利用，必然能大大提高课堂教学的效率，使课堂精彩纷呈。但教师如果在教学中没有预设到学生的学情，或者囿于自己原有的教学设计，强行要求学生亦步亦趋地走流程，学生必然觉得索然无味。教师忽视的是儿童已形成的数学技能和已萌发的数学思想，同样影响到课堂教学的有效性。

　　二、儿童已有数学认知的类别

　　广义而言，一切与数学有关的思维活动都可以被看作是数学认知。小学阶段，儿童已有的数学认知大致有以下三种不同的类别。

　　（一）儿童已了解的数学概念

　　任何一个孩子在进入课堂之前，他的数学认知都不是“一张白纸”。哪怕是一年级的小朋友，在成长的过程中，也有一些数学概念已经作为常识被习得。例如，对自然数的认识，对时间单位、长度单位和重量单位的认识，对图形的初步认识等数学概念大多都是在日常生活中了解。

　　维果茨基的最近发展区理论认为，当儿童发展时，他们在自己的最近发展区里与他人互动，建立自己的内部言语，成年人为儿童发展自己的内部言语各种支架和提供帮助。了解儿童已知的数学概念就能进入他们的“最近发展区”，就可以知道如何给他们支架和帮助，提高教学的有效性。

　　（二）儿童已掌握的数学方法

　　随着数学学习的深入进行，儿童的数学认知会越来越广泛，由于数学知识是循序渐进、环环相扣的，所以在学习一个新的数学概念或者数学知识的时候，学生总有一些旧知类的经验是可以被利用的。

　　建构主义理论认为，儿童学习知识的过程是在原有知识经验的基础上自主建构的过程。了解儿童已掌握的数学方法可以在原有知识结构的基础上，更好地经历自主建构新的知识体系的过程。

　　（三）儿童已萌发的数学思想

　　在学习数学知识和解决数学问题的过程中，儿童会萌发一些朴素的数学思想，如抽象、推理、模型思想等。在课堂教学中，要求教师对这些朴素宝贵的数学思想萌芽小心呵护，用春风化雨的教学艺术引水入渠，在课堂教学中予以渗透。

　　在数学思想的渗透教学中，教学内容中蕴含的数学思想需要和儿童已萌发的数学思想高度契合，才能够很好地达到同化的效应，进而提高课堂教学的有效性。

　　三、从儿童已有认知出发，提高课堂教学有效性的策略

　　（一）前后对比，使认知从朦胧到清晰

　　有一些数学知识，比如概念类，学生在日常生活中就有所了解。在课堂教学中如果始终“藏着”“掖着”，课堂教学的效果往往会很差。教师像抖“包袱”一样把这个概念一直盖着，学生从一开始的跃跃欲试，积极回答渐渐变成了意兴阑珊，甚至索然无味。等到教师认为到了那个时机，将“包袱”抖出来的时候，发现远远没有达到想要的结果，各方面的情绪都很失望。教师觉得：学生的反应完全没有达到自己想要的惊奇、兴奋的效果；学生觉得：这我早就知道，刚才你又不让我讲；甚至听课老师都觉得：藏了半天，终于讲出来了！

　　为什么会出现这样的课堂教学效果呢？因为教师的教学是以文本为核心，并不是以儿童的已有数学认知为核心。教师以自己的教学设计为蓝本，未免“自说自话”，没有考虑到学生已有的数学认知。

　　以苏教国标（修订版）小学数学二年级下学期“认识秒”一课为例，教者是这样设计的：

　　师：小朋友们，今天我们一起来认识“秒”，你对“秒”有哪些了解吗？哦，你了解秒针的特点；你知道“秒”与其他时间单位的关系；你觉得“秒”很短……

　　师：我们来玩一个“估秒大比拼”的小游戏。请小朋友们趴在桌上不许看屏幕，自己在心里读秒，觉得到了60秒就站起来。

　　师：你用什么方法估秒的？和大家分享你的小妙招。

　　师：我们再来一次，看看你估得是不是更准了。

　　师：今天我们一起认识了“秒”这个时间单位，说说看你有哪些收获？

　　在学习之前，儿童对于“秒”是有常识性认识的。在教学中让学生尝试着说一说，尝试着引导出他们原有的朴素的数学认知，学习的过程就是将这种数学认知由朦胧转向清晰的过程。在课堂上让学生的认知从不完整到相对完整，课堂教学的效果自然就得到了彰显。

　　（二）归纳整理，使认知从无序到有序

　　随着数学学习的深入，中年级和高年级学生已有的数学认知会逐渐增加，逐渐习得了许多数学学习的方法。数学知识已经进入到不断螺旋上升的阶段。

　　这一阶段的学习不再单纯以体验式为主，更加重要的是将已有认知进行归纳和整理，将新的数学知识纳入原有的知识体系中去。

　　在苏教国标（修订版）三年级下册“算‘24’点”的教学设计中，笔者是这样处理学生已有数学认知的：

　　师：你能用三张牌算出“24”点吗？说说你的方法。（通过板书重点总结连加和乘法的方法）

　　师：还有没有其他方法？（重点启发减法和除法）

　　师：尝试用四张牌算“24”点，写出一种方法之后再思考有没有什么其他的方法。在小组里交流。

　　师：比较一下，用三张牌和四张牌算“24”点有什么不同？

　　师：这节课之前，你知道哪些算“24”点的方法？经历了这节课你又有什么收获？

　　在本课当中，学生已有的数学认知是杂乱无章的。任何学生都能找到算“24点”的方法，只是这些方法更多地停留在“感知”阶段，没有进行过整理、对比、深入的思考。课堂教学是否有效不在于学生会不会算“24”点，而在于这些朴素的认知有没有进行整理和提升。

　　整理的关键在于教师的教学设计是否具有层次，是否将基本方法和其他方法进行层次划分。提升的关键是学生的学生之间有没有交流，题型和题型之间有没有比较，方法和方法之间有没有反思。

　　在算“24”点这节课课堂总结的时候，有一个孩子说道：“原本我就知道4×6=24，3×8=24。现在我知道了如果给我的数比较小，我就试试用加法和乘法；如果给我的数比较大，我就试试用减法和除法。”多么精彩的回答！多么深刻的体验！这样的回答让我们“摸到”了孩子成长的脉络。

　　（三）思想引领，使认知从隐性到显性

　　新课标指出，数学不仅是运算和推理的工具，还是表达和交流的语言。数学承载着思想和文化，是人类文明的重要组成部分。要求教师需要具有高屋建瓴的数学思想，能够引领学生学会用数学的思维思考现实世界。

　　以苏教国标（修订版）六年级下册“立体图形的整理与复习”一课为例，教者的整理包括以下内容：

　　教师在进行完长方体、正方体、圆柱和圆锥的相关知识复习之后，出示了一大堆现实生活中能见到的立体图形，包括棱柱、棱台、圆台、球体、各种多面体等，要求将它们和已学的四种立体图形合并，再分类。从学生对分类标准的阐述中，教师总结出多面体与旋转体两类。

　　接着，教师要求学生回顾学过的平面图形，也可以分为两类：多边形与曲线图形。线也可分为两种：直的线和曲线。通过教师精心的板书意识到点动成线，线动成面，面动成体的图形特征。

　　在六年级的最后阶段，教师不囿于立体图形，而是站在整个几何图形的高度引领学生通过分类，了解图形之间的彼此联系，这种俯瞰全局的视野所带来的震撼将久久留在孩子们的脑海之中，伴随着他们今后的数学学习。

　　（四）合作表达，使认知从被动到主动

　　对于高年级的学生而言，他们已有的数学认知更加丰富。对于小学阶段的数学概念大多了然于胸，对于基本数学方法也大多掌握熟练，对于数学思想也有所形成。他们的“数学现实”既包括已有的“知识”，还包括数学思想方法、规律把握和抽象能力。同时，他们也具有相当的学习能力。在课堂上，高年级学生最需要的是一些空间和平台，来表达这些已有的数学认知，用主动学习来替代不必要的被动学习。

　　以苏教国标（修订版）五年级下册“圆的周长”一课为例，执教者的设计可以给我们一些启示：

　　师：在一个圆里画最大的正六边形，圆的周长和正六边形的周长有什么关系呢？这里有3个问题，请你和同桌讨论。

　　师：如果在圆外画一个最小的正方形，你知道圆的周长和正方形周长有怎样的关系吗？按照刚才三个问题的提示自己独立思考。

　　师：打开活动袋，看看活动袋里都有些什么。请四人小组的组长分配任务，协同完成活动表格。

　　师：书上也有一些对于圆周率的介绍，请打开书93页，自己阅读并进行勾画。说说你了解了什么知识。

　　在这节课的设计中，教师着力提供了一些空间，打造了一些平台：同桌讨论的空间、独立思考的空间、小组合作的空间、自主阅读的空间。不同的空间给了学生不同的表达机会和表达方式。多样的表达方式一方面呈现了学生已有的数学认知，另一方面让学生的学习从被动的“听”走向主动的“说”，丰富了课堂教学的形式，也提高了课堂教学的效率。

　　总之，在课堂教学的过程中，儿童已有的数学认知需要引起教师的高度重视。从儿童已有认知出发的课堂往往充满着灵气、个性、智慧，忽略儿童认知能力的课堂往往显得拘束、空洞、呆板。从儿童已有的数学认知出发就能够呈现灵动的课堂，提高课堂教学的有效性。

       参考文献：

　　[1]中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准(2022年版)[S].北京:北京师范大学出版社,2022.

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　　[3]王林等.小学数学课程标准研究与实践[M].南京:江苏教育出版社,2011.

　　[4]张奠宙,林永伟.关于“数学现实”与“现实数学”[J].数学教育学报,2008(2):1-4.