摘要:本文对高中数学抽象函数的类型和其具有的规律进行剖析，分析解决这类抽象函数问题的方法，以提高学生的学习效率．

　　关键词:高中数学;抽象函数;解题策略

　　抽象函数是一类特殊的函数，此类函数由于没有给出具体的函数解析式，从而解题思维与常见函数的处理方法不同，故需要我们特别关注．基于此，本文对处理抽象函数问题的常用策略加以归类解析，旨在帮助同学们掌握求解此类问题的一些内在规律、特点，从而进一步提高处理抽象函数问题的解题能力．

　　1借助“赋值”，探求函数的解析式与奇偶性

　　抽象函数问题，如果在题设条件中涉及关于两个变量的恒等式，那么具体求解时，我们不仅要注意“赋值”思想的灵活运用，而且还要注意“赋值”的各种具体方式———可以是具体的实数，也可以是一些

　　特殊的代数式．

　　例1设函数f:R→R，满足f(0)=1，且对任意x，y∈R都有f(xy+1)=f(x)f(y)－f(y)－x+2，求函数f(x)的解析式．

　　解析注意到本题中的x，y具有任意性，于是应考虑对变量x，y如何灵活地赋值，以达到巧妙求解的目的．

　　因为f(0)=1，所以取x=0，则由题设得f(1)=f(0)f(y)－f(y)+2=f(y)－f(y)+2=2．

　　从而，取y=0，则由题设得

　　f(1)=f(x)f(0)－f(0)－x+2．

　　所以2=f(x)×1－1－x+2，

　　所以f(x)=x+1．

　　评注本题求解的切入点是:紧紧抓住f(0)=1，对变量x，y进行灵活赋值分析．

　　例2若函数f(x)满足:f(x)+f(y)=f(x+y)对任意x，y∈R都成立，试判断函数f(x)

　　的奇偶性．

　　解析要判断函数f(x)的奇偶性，关键在于考查f(－x)与±f(x)之间满足什么关系．

　　取x=y=0，则有f(0)+f(0)=f(0)．所以f(0)=0．

　　从而取y=－x，则有

　　f(x)+f(－x)=f(0)=0．

　　即f(－x)=－f(x)．

　　故函数f(x)为奇函数．

　　2借助“变形”，证明函数的单调性

　　证明抽象函数的单调性时，一般应根据增函数(或减函数)的定义加以论证，同时要注意在适当“变形”的基础上创造有利条件，以便灵活运用题设条件．

　　例3已知函数f(x)满足:f(x+y)=f(x)+f(y)－1(x，y∈R)，且当x＞0时，有f(x)＞1，求证:函数f(x)在R上是增函数．

　　证明任取x1，x2∈R，且设x1＜x2．

　　因为x2－x1＞0

　　所以由题设得f(x2－x1)＞1．

　　于是，结合已知条件可得

　　f(x2)=f[(x2－x1)+x1]=f(x2－x1)+f(x1)－1＞1+f(x1)－1=f(x1)．

　　即f(x2)＞f(x1)．

　　综上，根据增函数的定义即知，函数f(x)在R上是增函数．

　　评注将“x2”变形为“(x2－x1)+x1”是本题顺利求证的关键所在．

　　例4已知定义在R+上的函数f(x)满足:f(xy)=f(x)+f(y)(x，y∈(0，+∞))，且当x＞1时，f(x)＜0，求证:函数f(x)在(0，+∞)上单调递减．

　　3.借助“作图”，速解不等式

　　如果题目给出抽象函数的奇偶性、单调性，那么求解相关不等式时，我们可借助适当“作图”技巧，有利于化抽象为具体，从而根据数形结合思想达到

　　顺利求解不等式的目的．

　　例5已知f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x)在(0，+∞)上单调递增，f(3)=0，则不等式x·f(x)＜0的解集是．

　　解析先作一个适合题意的函数f(x)的图象，再按x＞0，x＜0分两种情况加以讨论即可．

　　注意到f(－3)=－f(3)=0，于是可作一个适合题意的函数f(x)的图象，如图1所示．

　　当x＞0时，因为由x·f(x)＜0，得f(x)＜0．所以结合图象知此时0＜x＜3;

　　当x＜0时，因为由x·f(x)＜0，得f(x)＞0．所以结合图象知此时－3＜x＜0．

　　综上可知，不等式x·f(x)＜0的解集是(－3，0)∪(0，3)．

　　评注遇到有关抽象函数问题，一定要有数形结合的思想意识，其关键是画图、用图．如何准确地认识、利用函数的图象，也不容忽视，因为这是易错点．

　　例6已知定义在R上的偶函数f(x)在

　　(－∞，0]上单调递减，若f()=0，则不等式

　　f(3x+1)＞0的解集是．

　　解析先作一个适合题意的函数f(x)的图象，再由图作具体分析即可．

　　4借助“建模”，巧解选择题

　　处理抽象函数中的有关选择题时，我们可结合题意探寻一个具体函数加以巧妙分析，这实际上就是“建模思想”(建立函数模型)在解题中的灵活运用，有利于培养学生的数学建模能力．

　　例7若定义在R上的函数f(x)满足:对任意x1，x2∈R有f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)+1，则下列说法一定正确的是()．

　　A．f(x)为奇函数B．f(x)为偶函数

　　C．f(x)+1为奇函数D．f(x)+1为偶函数
       解析设函数f(x)=x+c，则

　　因为f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)+1，所以x1+x2+c=x1+x2+2c+1．化简，得c=－1．

　　所以可取一个适合题意的具体函数f(x)=x－1加以分析判断．

　　当函数f(x)=x－1时，显然不具有奇偶性，此时由f(x)+1=x即知f(x)+1为奇函数．故应选C．

　　评注参考解析可知，更一般地我们可取函数

　　f(x)=kx－1加以分析判断．

　　例8已知定义在实数集R上的函数y=f(x)恒不为零，同时满足f(x+y)=f(x)·f(y)，且当x＞0时，f(x)＞1，那么当x＜0时，一定有(  )．

　　A．f(x)＜－1 B．－1＜f(x)＜0

　　C．f(x)＞1 D．0＜f(x)＜1

　　解析因为注意到指数函数满足f(x+y)=f(x)·f(y)，所以考虑题设“当x＞0时，f(x)＞1”，

　　可取一个适合题意的具体函数f(x)=2x加以分析判断．

　　根据函数f(x)=2x的图象知:当x＜0时，一定有0＜f(x)＜1．故由排除法知应选D．

　　评注更一般地，我们可取指数函数f(x)=ax(a＞1)进行分析、判断．请关注常见函数模型的选取:①若对任意x，y∈R，有f(x+y)=f(x)+f(y)，则可取正比例函数f(x)=kx;②若对任意x，y∈R，有f(x+y)=f(x)f(y)，则可取指数函数f(x)=ax;③若对任意x，y＞0，有f(xy)=f(x)+f(y)，则可取对数函数f(x)=loga x;④若对任意x，y＞0，有f(xy)=f(x)f(y)，则可取幕函数f(x)=xn．

　　总之，结合以上举例解析，可帮助我们理清处理抽象函数问题的常用策略，明确其解题的常用切入点、技巧等．一言以蔽之，求解抽象函数问题的常用策略，可高度概括为:“赋值”“变形”“作图”“建模”(八字策略)．如此，尽管函数“抽象”，但是解法“具体”，从而便于轻松获解！

　　参考文献:

　　[1]舒忠田．抽象函数问题解题方法选粹[J]．江西教育学院学报，2012，33(06):35－37．