摘要:导数在高考解答题中始终扮演着压轴题的角色，主要考查的题型有导数与不等式的证明、恒成立与能成立问题、零点问题、洛必达法则、隐零点问题以及极值点偏移问题．本文对隐零点问题中较难的虚设零点法的几个类型进行归纳总结．

　　关键词:导数;隐零点问题;虚设零点

　　导数在高考解答题中始终扮演着压轴题的角色，主要考查的题型有导数与不等式的证明、恒成立与能成立问题、零点问题、洛必达法则、隐零点问题以及极值点偏移问题．本文将对隐零点问题中较难的虚设零点法的几个类型进行归纳总结，以期对学子及同行有所帮助．

　　1可以消掉隐零点得到具体值的问题

　　点评虚设零点时，我们常取正整数1，2，3…加以试验，这是因为正整数的函数值比较容易计算和估计其正负，实在不能用正整数时，我们常取整数的中点加以试验，这是来源于二分法的思想，此题中

　　两边取自然对数得2x0=－lnx0．④

　　所以g(x)在(0，x0)上为负，在(x0，+∞)上为正．所以f'(x)在(0，x0)上为负，在(x0，+∞)上为正．所以f(x)在(0，x0)上单调递减，在(x0，+∞)上单调递增．所以f(x)min=f(x0)=x0 e2x0－2x0－lnx0．将③④两式代入，得

　　2无法消掉隐零点的求范围问题

　　例2已知函数f(x)=x+2xlnx，若对于任意x＞1，f(x)＞k(x－1)恒成立，求整数k的最大值．

　　解析因为f(x)＞k(x－1)对于x∈

　　点评在确定隐零点的范围时，优先考虑整数，确定出x0∈(2，3)，到最后一步2x0∈(4，6)依然无法确定正整数k取4还是取5．遂作调整，确定出x0

　　令h(x)=ex－x－2，易知h(x)在(0，+∞)上单调递增．

　　又因为h(1)=e－3＜0，h(2)=e2－4＞0，所以存在x0∈(1，2)使得h(x0)=0，即ex0=x0+2．所以h(x)在(0，x0)上为负，在(x0，+∞)上为正．所以g'(x)在(0，x0)上为负，在(x0，+∞)上为正．

　　所以g(x)在(0，x0)上单调递减，在(x0，+∞)上单调递增．

　　3无法消掉隐零点且需要放缩的求范围问题

　　例3已知函数f(x)=ex－ln(x+m)，当m≤2时，证明:f(x)＞0．

　　解析当m≤2时，ln(x+2)≥ln(x+m)，所以－ln(x+2)≤－ln(x+m)．

　　所以只需证明当m=2时，f(x)=ex－ln(x+2)＞0，x∈(－2，+∞)即可．

　　两边取自然对数，得x0=－ln(x0+2)．⑧

　　所以f'(x)在(－2，x0)上为负，在(x0，+∞)上为正．所以f(x)在(－2，x0)上单调递减，在(x0，+∞)上单调递增．

　　所以f(x)min=f(x0)=ex0－ln(x0+2)．

　　将⑦⑧两式代入，得

　　点评对于含有参数m的不等式问题，通过分析当m≤2时函数f(x)的变化情况，找到f(x)取最小值的情况，将证明ex－ln(x+m)＞0放缩为证明ex－ln(x+2)＞0．此放缩有两个好处，一是将变化的参数m固定成了定值2;二是方便求导、方便计算．

　　练习3已知函数f(x)=ex－t－lnx，当t≤2时，证明:f(x)＞0．

　　解析当t≤2时，ex－t≥ex－2，所以只需证明当t=2时f(x)＞0即可．

　　当t=2时，f(x)=ex－2－lnx，x∈(0，+∞)，

　　两边取自然对数得x0－2=－lnx0．⑩

　　所以f'(x)在(0，x0)上为负，在(x0，+∞)上为正．

　　所以f(x)在(0，x0)上单调递减，在(x0，+∞)上单调递增．所以f(x)min=f(x0)=ex0－2－lnx0．

　　将⑨⑩两式代入，得

　　4需要对隐零点满足的方程进行二次化简的问题

　　例4设函数f(x)=xex－lnx－kx+x－1，若f(x)≥0恒成立，求实数k的取值范围．

　　所以h(x)在(0，x0)上为负，在(x0，+∞)上为正．所以g'(x)在(0，x0)上为负，在(x0，+∞)上为正．

　　所以g(x)在(0，x0)上单调递减，在(x0，+∞)上单调递增

　　将⑪1⑪12两式代入，得

　　练习4设函数f(x)=xe2x－lnx－kx，若f(x)≥1恒成立，求实数k的取值范围．

　　所以h(x)在(0，+∞)上单调递增．

　　所以h(x)在(0，x0)上为负，在(x0，+∞)上为正．所以g'(x)在(0，x0)上为负，在(x0，+∞)上为正．

　　所以g(x)在(0，x0)上单调递减，在(x0，+∞)上单调递增．

　　隐零点问题是高考导数压轴题最常考的类型之一，虚设零点法则是其中难度较大、出现较频繁的题型，它能综合考查学生对导数掌握的熟练程度，学生应在理解透“虚设零点”的基础上多加练习，以期熟能生巧．

　参考文献:

　　[1]中华人民共和国教育部．普通高中数学课程标准(2017年版2020年修订)[M]．北京:人民教育出版社，2020．