摘要：针对目前柔性直流输电系统潮流算法存在的雅可比矩阵求解困难、算法效率低等问题，提出了一种基于改进拟牛顿法的交直流系统潮流算法，使用Broyden方法更新每次迭代过程中的雅可比矩阵，避免了雅可比矩阵的重复形成，减少了单步迭代的计算量，同时使用三阶牛顿法的迭代形式，提升了算法的收敛阶数，有效地避免了因拟牛顿法收敛阶数过低而造成的迭代次数增加问题，使得其计算效率相较于传统牛顿法与Broyden方法更有优势。最后，对不同规模的柔性直流输电系统进行潮流计算仿真分析，从交直流潮流结果、控制方式、算法效率、重负荷下的算法性能等方面进行对比分析，结果表明：提出的算法适用于多种算例情况，且具有与传统牛顿法相同的精确性，同时其算法效率相较于传统牛顿法得到了显著的提升，平均计算时间缩减率可以达到26.712%。

　　关键词：柔性直流输电；Broyden方法；改进拟牛顿法；交直流系统；潮流计算

　　0引言

　　基于电压源换流器的柔性直流输电技术(Voltage Source Converter Based High Voltage Direct Current，VSC-HVDC)是新能源大规模并网和消纳的重要方式，但直流线路的引入使得变量数陡增，雅可比矩阵分解与求逆也变得异常繁杂[1]，这给潮流的快速求解带来了一定的困难。因此，如何有效地提升交直流系统潮流求解速率已经成为了现代电力系统发展不可忽视的问题。适用于柔性直流输电系统的潮流求解方法有统一法和交替法两种形式[2]。统一法是将交流和直流系统的各潮流方程联立求解，计及二者之间的耦合影响，对各种网络和运行条件都有良好的适应性[3]。交替法将交、直流系统潮流方程分别求解，对交流系统雅可比矩阵的改动小，可以有效地利用现有的纯交流系统潮流程序[4]。

　　现有的潮流求解方法大多基于经典的牛顿-拉夫逊(NR)法，经典NR法在每次迭代中仅需一次三角(LU)分解[5]，同时具有二阶收敛特性[6]，可以有效地求解潮流问题。但随着电力系统规模的不断增大，尤其是VSC-HVDC的馈入，变量数陡增，复杂的雅可比矩阵分解与求逆变得异常繁杂。Broyden方法[7]作为一种经典的拟牛顿法，使用更容易计算的近似矩阵来代替复杂的雅可比矩阵，只需要在初始化时计算一次雅可比矩阵，减小了单步迭代计算量，但较低的收敛阶数使得其迭代次数有所增加。为了提升潮流算法的计算效率，本文首先提出了适用于交直流系统潮流计算的Broyden方法迭代形式，进而，针对该方法迭代次数过多的问题，提出了基于改进拟牛顿法[7]的潮流算法，该方法具备更高的收敛速度，在减少单步迭代计算量的同时又不会导致迭代次数增加过多，使得其计算效率得到了较大的提升。最后，对修改后的IEEE标准算例进行仿真测试，结果表明：本文算法具有与经典NR法相同的精确性，且其在计算速度方面更有优势。

　　1 VSC-HVDC的数学模型和潮流方程

　　1.1 VSC-HVDC的稳态模型及控制方式

　　单侧VSC-HVDC系统的稳态数学模型如图1所示[8]，其稳态方程已有相关研究[9]，本文在此不再一一赘述。

　　电压源换流器具有多个可控变量，其中每个换流器可采用的控制策略如下：(1)有功功率Ps恒定；(2)直流电压Ud恒定；(3)直流电流Id恒定；(4)无功功率Qs恒定；(5)交流电压Us恒定。其中，有功功率Ps、直流电压Ud与直流电流Id可由移相角δ控制，无功功率Qs与交流电压Us由调制度M进行控制。本文所采用的4种控制方式组合的方案详见文献[10]。

　　1.2含VSC-HVDC的交直流系统潮流方程

　　基于交直流潮流算法的统一迭代形式与系统的稳态方程，将纯交流节点、直流节点、换流器VSC的潮流方程进行联立，设系统总节点数为n，直流节点与换流器的个数为nVSC，交流节点的个数nac=n-nVSC，得到含VSC-HVDC的交直流系统潮流方程为：

　　式中：U、θ为节点电压幅值和相角；G、B分别为节点导纳矩阵的实部与虚部；上标s表示该功率为节点注入功率；i为节点编号；j∈i表示j节点与节点i相连；a为纯交流节点；t为直流节点，其中1~nac为交流节点，nac+1~n为直流节点；Δd为换流器潮流方程；μ(0＜μ＜1)为换流器的直流电压利用率；M(0＜M＜1)为换流器调制度；Ud为直流系统节点电压；gd为直流系统节点导纳矩阵元素。

　　2算法原理

　　2.1 Broyden方法原理

　　经典NR法虽然可以达到二阶收敛速度，但每一步迭代需要计算n2个偏导数∂j fi(x(k))(i，j=1，2，…，n)及n个分量函数的值f(x(k))，其计算量是很可观的。因此，为了减少每步迭代的计算量，可采用Broyden方法来解决非线性方程组的求解问题。Broyden方法是一种经典的拟牛顿法，这种方法的主要思想是用更容易计算的近似矩阵来代替复杂的雅可比矩阵，只需要在初始化时计算一次雅可比矩阵。Broyden秩1迭代公式[7]如下：

　　式中：函数f(x)为待求的方程；x(k+1)为第k次迭代后的修正值；sk-1=x(k)-x(k-1)，yk-1=f(x(k))-f(x(k-1))；B0取f(x)在初始点x(0)的雅可比矩阵。

　　Broyden秩1方法将单步迭代计算量由O(n3)降为O(n2)，大大地减少了计算量，一定程度上避免了误差的累计传播。但这种方法的收敛阶数低于经典牛顿法，为超线性收敛，会导致迭代次数的增多。

　　2.2改进拟牛顿法原理

　　针对Broyden方法收敛阶数较低，迭代次数增加等问题，文献[7]提出了一种改进拟牛顿法用于求解非线性方程组，第k次的迭代公式如下：

　　改进拟牛顿法使用了三阶NR法的迭代形式，同时使用Broyden方法更新其雅可比矩阵的近似矩阵，在一定情况下具有全局收敛性。该方法不仅保留了拟牛顿法单步迭代计算量小的优势，同时还能减少了迭代次数，使得其算法效率相较于经典NR法与Broyden方法而言有较大的提升。

　　2.3含VSC-HVDC的交直流系统改进潮流

　　电力系统潮流计算的实质为非线性方程组的求解。在此，设VSC-HVDC的变量参数为x=[U,θ,Ud,Id,δ,M,Ps,Qs]T，而各不平衡量为Δf=[ΔP,ΔQ,Δd 1,Δd2,Δd3,Δd4]T，雅可比矩阵用J表示。电力系统潮流计算即为求解方程f(x)=0。利用下式计算功率不平衡量Δf：

　　式中：Δf=[fac,fac-dc,fdc]T，fac=[ΔPa,ΔQa]，fac-dc=[ΔPt,ΔQt]T，fdc=[Δd 1,Δd2,Δd3,Δd4]T；上标T表示转置；

　　ΔPa,ΔQa表示纯交流节点有功功率与无功功率的增量，表示与交流系统相连的直流节点有功功率与无功功率法的增量；Δdi表示直流系统换流器VSC的基本潮流计算方程；Δx=[Δx c,Δx c-dc,Δx c]T，Δxac=[ΔU,Δθ]T，

　　Δxac-dc=[ΔPt,ΔQt]T,Δxdc=[ΔU,ΔI,Δδ,ΔM]T；ΔUn、Δθn

　　分别表示交流节点电压幅值和相角的增量；ΔUd、ΔId、Δδ、ΔM分别为VSC的直流电压、直流电流、移相角和调制度的增量。

　　基于改进拟牛顿法，可得改进的含VSC-HVDC的交直流系统潮流混合算法求解过程如下。

　　步骤1：初始化，并设置计数器的迭代次数k=0。

　　步骤2：依初值x(0)计算系统的不平衡量|Δf|，并判断|Δf|的最大值是否小于设置精度ε，若是，停止计算，输出潮流计算结果；若否，则进入步骤3。

　　步骤3：k=0时，采用牛顿法计算雅可比矩阵J，令B0=J，x(1)=x(0)-B 1 f(x(0))。

　　步骤4：根据x(1)计算系统的不平衡量|Δf|，并判断|Δf|的最大值是否小于设置精度ε；若是，则结束潮流程序；若否，令k=1，进入步骤5。

　　步骤5：利用公式(2)计算近似矩阵Bk。

　　步骤6：修正量x(k+1)=x(k)+dkB+dkM，设置迭代计数器的次数k=k+1。

　　步骤7：根据第k次迭代所求得的修正量x(k+1)计算系统的不平衡量|Δf|，并判断|Δf|的最大值是否小于设置

　　精度ε；若是，则输出交直流系统潮流计算结果，结束程序；若否，则返回步骤5。

　　3算例分析

　　为了验证所提出改进潮流算法的有效性，同时对比改进算法与经典NR法的计算效率，分别对14、30、57和118节点的柔性直流输电系统进行仿真分析(算例系统均由IEEE标准算例系统修改得到)，使用MATLAB R2019b进行测试，仿真精度ε设置为10-6。限于篇幅，本文主要分析验证了30节点柔性直流输电系统的交流潮流结果和直流潮流结果，图2为修改后的IEEE-30节点交直流系统结构图，图中整流器与逆变器的参数设定相同，其中XL=0.15p.u.，R=0.006p.u.，Rd=0.03p.u.，Xf=0.01p.u.(各参数均为标幺值)。

　　3.1基本算例测试

　　为验证所提算法在不同控制方式下的有效性和适用性，下面将分别对4种控制方案进行仿真验证。为便于比较分析，设定A表示经典牛顿法，B表示Broyden方法，C表示改进拟牛顿法。上述方法具有相同的收敛精度，限于篇幅，表1、表2仅给出了IEEE-30算例系统在C方法下交流系统、直流系统潮流计算的结果。

　　根据表1和表2的仿真结果可知，改进拟牛顿法具有和经典牛顿法一样的高精确性；根据表2中4种不同控制方式下直流系统潮流结果可知，本文方法适用于换流器不同的控制方式及设定值。

　　3.2算法效率测试

　　表3为不同算例系统在方法A、B、C下的计算性能比较(仅以方案1为例)。由表可知，由于收敛阶数较低，方法B的迭代次数相较于方法A增加较多，因此虽然方法B可以有效地减少单步迭代计算量，但其计算效率相较于方法A提升较小，在各种算例情况下方法B相较于方法A的平均计算时间缩减率仅为8.371%；而方法C在保留了低阶算法单步计算量较少优势的同时，减少了迭代次数，使得方法C比A、B两种方法计算时间更短，方法C相较于方法A的平均计算时间缩减率可达到26.712%。

　　对于全部算例系统而言，方法C所用的计算时间最短。同时，当节点数从14增加到118时，方法C的计算时间增量也是最短的。这说明方法C在实际应用方面相较于经典牛顿法和Broyden方法具备一定的速度优势。3.3重负荷下算法性能对比表4为系统在重负荷情况下，方法A、B、C的收敛性能对比(以IEEE-118为例，控制方式为方案1，负荷改变的为节点44的有功负荷，表中NC表示达到系统极限，算法不再收敛)。从表4中可以看出，当负荷值从0.5增加到2.992时，3种方法的迭代次数分别增加5、7、5次，且方法C的计算时间最少，仅为方法A的一半左右，这表明方法C在极端条件下具有很高的稳定性与高效性。

　　4结束语

　　基于电压源换流器的柔性直流输电技术是新一代高压直流输电技术，它相较于传统高压直流输电具有多项技术优势。本文针对柔性直流输电系统，提出了一种基于改进拟牛顿法的柔性直流系统潮流算法，该算法在每次迭代中不需要计算复杂的雅可比矩阵，而是使用更容易计算的近似矩阵来代替，极大地减少了计算量，同时保持了较高的收敛阶数，使得算法效率相较于经典牛顿法和Broyden方法得到了显著的提升。同时，算例结果也验证了本文提出的改进拟牛顿潮流算法的可行性与有效性。

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