【摘要】二次函数的最值问题是近年数学中考的常考点,是中学数学的重要内容之一,也是学好中学数学必须攻克的较为抽象的难点之一。题型灵活多变,其中求二次函数在闭区间上的最值是二次函数最值问题的典型代表,包括不含参数和含参数的最值问题、最值逆向性问题以及可转化为二次函数在闭区间上最值的问题。

　　【关键词】二次函数；最值；数形结合

　　含有参数的函数最值问题,能很好地考查数形结合思想和分类讨论思想。解决这类问题的关键点是研究函数图像的对称轴与区间的相对位置关系。本人针对二次函数的最值问题设计一堂课,展开问题串,让学生理解含参数的函数最值问题的特征,以引导学生掌握解决此类问题的方法为教学目标。

　　1.教学设计

　　1.1教材分析

　　二次函数是初中数学的重要内容,二次函数最值问题的专题复习,可以对二次函数的概念等知识进一步巩固和深化。含参数的二次函数是进入高中以后学生经常会遇到的,本专题利用函数的图像和性质去研究函数在区间上的最值,可以为高中进一步学习其他函数打下坚实的基础。本专题涉及分类讨论思想、数形结合思想,以便培养学生分析问题、解决问题的能力。

　　1.2学情分析

　　学生已掌握了二次函数的图像和性质的相关知识,具备了一定的识图能力、分析图形特征的能力和数学说理能力,为本节课解决二次函数最值问题奠定了基础。

　　1.3学法分析

　　课堂上安排了学生讨论、分组、交流等活动,让学生变被动地接受和记忆知识为在合作学习的乐趣中主动地建构新知识的框架和体系,从而完成知识的认知过程,在互相交流和自主探究中获得发展。课堂上注重学习过程的循序渐进。在问题、图像、应用、拓展的过程中按照先易后难的顺序层层递进,让学生感到有挑战、有收获。不同难度的题目设计将尽可能照顾到课堂学生的个体差异,引导学生利用函数图像来解决问题。

　　1.4教学目标

　　知识与技能：掌握二次函数在区间上最值的求法。

　　过程与方法：培养学生分类讨论的能力和数形结合思想。

　　情感、态度与价值观：通过合作学习的形式,培养学生主动学习的意识和敢于创新的个性品质。

　　1.5教学重难点

　　教学重点：二次函数在区间上最值的求法。

　　教学难点：分类讨论思想和数形结合思想在求最值中的应用。

　　教学重点难点的突破：本节课从复习基础引入,通过教师引导、学生合作探究的方式突破难点。

　　2.教学过程与环节评析

　　环节一：基础引入,回顾定轴定区间问题

　　例1：已知二次函数y=x2-4x+3,判断y有最大值或最小值,并求出这个最值。

　　教师：这里如何判断y有最大值或最小值？

　　学生：看a的取值,当a＞0时,抛物线开口向上,图像有最低点,此时y有最小值；当a＜0时,抛物线开口向下,图像有最高点,此时y有最大值。这里a=1＞0,所以y有最小值。

　　教师：如何求出这个最小值？

　　学生：可将这个二次函数化成顶点式为y=(x-2)2-1,由此得到顶点坐标为(2,-1),所以当x=2时,y有最小值为-1。

　　教师：y有最大值吗？为什么？

　　学生：没有最大值,因为抛物线无限向上延伸,图像没有最高点,也就是y没有最大值。

　　教师：若给一个自变量取值范围,比如当0≤x≤3时,y有最大值吗？为什么？

　　学生：y有最大值,因为抛物线在这个自变量取值范围内的部分是有限的,所以存在最大值。

　　教师：如何求这时y的最大值。

　　学生：可画大致图像,找这个自变量取值范围内图像的最高点。

　　教师：很好,请同学们画出大致图像。(预留时间让学生画出大致图像)

　　(在上面的这些对话中,学

　　生不一定能顺畅地回答出问

　　题,但应通过问题串尽力引导

　　学生回答)

　　引导学生画出大致图像,

　　如图1：图1

　　教师：如何从图像上看这个自变量取值范围内y的最大值？

　　学生：找在这个自变量取值范围内图像的最高点,最高点对应的纵坐标就是y的最大值。所以当x=0时,y有最大值为(0-2)2-1=3。

　　教师：那当0≤x≤3时,y有最小值吗？如何求这时y的最小值？

　　学生：找在这个自变量取值范围内图像的最低点,因为在这个自变量取值范围内抛物线的顶点为最低点,所以当x=2时,y有最小值为-1。

　　教师：非常好!这个自变量取值范围包含对称轴,y的最小值依然看顶点的纵坐标。

　　例2：已知二次函数y=(x-2)2-1,当-1≤x≤1时,求y的最大值和最小值。

　　(鼓励学生画图帮助解决问题,大致图像如图2)

　　学生：我们可以先看这个自变量取值范围内图像的最高点,所以当x=-1时,y有最大值为(-1-2)2-1=8；再看这个自变量取值范围内图像的最低点,所以当x=1时,y有最小值为(1-2)2-1=0。

　　教师：很好!这个自变量取值范围包含对称轴吗？学生：没有。

　　例3：已知二次函数y=(x-2)2-1,当2.5≤x≤4时,求y的最大值和最小值。

　　(学生独立完成后,请一个学生回答)

　　学生：我们同样可以先看这个自变量取值范围内图像的最高点,所以当x=4时,y有最大值为(4-2)2-1=3；再看这个自变量取值范围内图像的最低点,所以当x=2.5时,y有最小值为(2.5-2)2-1=-0.75。

　　教师：很好!这个自变量取值范围包含对称轴吗？

　　学生：没有。

　　教师：这几个问题中,对称轴和自变量取值范围是确定的,我们称之为“定轴定区间”,区间就是指自变量取值范围,这种类型的题目只需要画出图像就可以解决。

　　【设计意图】定轴定区间类型是二次函数最值问题的来源,通过三个例题来体现知识的形成过程,突出知识之间的联系,使学生形成良好的认知结构。由于二次函数的连续性特征,抛物线在闭区间图像是有限的,所以存在最值。当函数在闭区间函数范围内,最值可能出现在两个位置：①闭区间的两个端点；②函数的顶点。因此要对二次函数的开口和对称轴进行分析,解决这类问题可以借助函数图像,直观形象,学生容易掌握。这个环节通过思考自变量取值范围是否包含对称轴的过程中,为后面的分类讨论埋下伏笔。

　　环节二：引入参数,探究定轴动区间问题

　　变式1：已知二次函数y=(x-2)2-1,当0≤x≤m时,求y的最小值。

　　教师：这道题与前面的题目有什么不同呢？

　　学生：自变量取值范围含有参数。

　　教师：m是一个不确定的参数,所以此时自变量取值范围是不确定的,如何确定y的最小值？

　　(给学生充分思考的时间,学生思考并讨论后发言)

　　学生1：不确定的因素需要分类讨论。

　　学生2：结合图像,可以分两种情况：如果这个自变量取值范围内包含对称轴,那么y的最小值还是看顶点的纵坐标,也就是若m≥2,当x=2时,y有最小值为-1；如果这个自变量取值范围内不包含对称轴,也就是若0＜m＜2,那么当x=m时,y有最小值为(m-2)2-1=m2-4m+3。

　　教师：很好,这类问题自变量取值范围因为含有参数,随着m的变化而变化,但对称轴是确定的,我们称这类问题为“定轴动区间”,这类问题仍然需要画出图像,再分类讨论对称轴与区间的相对位置。

　　【设计意图】当函数自变量取值范围不确定的时候,区间端点与对称轴处函数值的大小就不能直接看出,函数图像的绘制无法具体,所以需要根据自变量的大小进行分类讨论。以已有知识的生长点来建构新知识的最近发展区,引起学生认知冲突。从一类问题引申到另一类问题,给学生的思维发展提供阶梯,激发探究的热情。当区间开始引入参数时,就把静态问题转化到动态问题,引导学生想象运动规律,寻求运动中的特殊位置,在“动”中求“静”,在“静”中探求“动”。通过数形结合,加深对函数图像的感知,生成思维层面的经验。

　　变式2：已知二次函数y=(x-2)2-1,当m-3≤x≤m+1时,y取得最小值为2,求m的值。

　　教师：这道题又与前面的题目有什么不同呢？

　　学生：给了最小值,求自变量取值范围中的参数。

　　(给学生充分思考的时间后发言)

　　有了前面的经验,学生自然考虑到了先画图像,再结合图像分类讨论。

　　学生独立完成后发言大致如下：

　　①当m+1＜2时,当x=m+1时,y有最小值为(m+1-2)2-1=2,解得m=±√3+1;

　　②当m-3＞2时,当x=m-3时,y有最小值为(m-3-2)2-1=2,解得m=±√3+5。

　　从发言来看,学生有形成分类讨论意识,但存在分类不全面和取值未检验是否符合等问题,我让学生继续思考讨论这样解题是否严密。

　　学生讨论后补充发言大致如下：

　　在①中,因为m+1＜2,所以m＜1,因此m=√3+1要舍去；

　　在②中,因为m-3＞2,所以m＞5,因此m=-√3+5舍去。

　　还存在第三种情况：当m-3＜2＜m+1时,由顶点纵坐标可知y最小值为-1,与y取得最小值为2不符。

　　综上所述,m的值为-√3+1或√3+5。

　　引导学生从本题归纳收获：(1)遇到含有参数的函数最值问题要分类讨论对称轴与区间的相对位置；

　　(2)要检验所求数值的存在性。

　　【设计意图】本题是最值逆向性问题,给最值求自变量取值范围中的参数。注重学生知识迁移能力的培养,培养学生利用分类讨论、数形结合等思想方法进行解题的意识,让这些意识穿插在课堂中,使学生体会思维的巧妙与数学美。通过探索、归纳、猜想,获得图形在运动过程中是否保留或具有某种性质,用运动的眼光观察出各种可能的情况分类讨论,较为精确地将每种情况一一呈现出来。促进学生主动建构,帮助学生形成知识模块,优化知识体系。关于分类的不全面,借助图像帮助学生破解思维定势,让学生经历问题的深入、探求。透彻理解问题所在,形成清晰的数学思维导向。

　　函数是中学数学核心内容,它的学习贯穿整个中学数学,函数思想方法渗透数学知识各个领域。学好函数是学好数学的基础,学好函数,更能做好初高中数学衔接。而初高中数学衔接的关键是思维的衔接,所以应该将发展学生的思维能力作为数学教学的出发点和落脚点。二次函数是函数知识的核心,在中考中必有它的身影。

　　二次函数的最值问题,对学生的能力考查也较为综合,能让学生的思维能力得到创新,有效地加深学生对所学知识的了解与运用,培养学生解题的思维能力。二次函数在某区间上的最值问题的主要因素是二次函数图像的开口方向、所给区间及对称轴位置。在这三个因素中最易确定的是开口方向,而所给区间和对称轴位置的讨论是解决问题的关键。

　　本节课通过变式,层层推进,带领学生感受二次函数最值问题的三种常见类型,分别是定轴定区间、定轴动区间、动轴定区间(还有一种动轴动区间类型放到第二课时复习)。让学生感受求函数区间的最值问题,首先要画大致的图像,因为题目给定的区间不同,最值能否取到顶点要进行具体分析,所以要通过分类讨论对称轴与区间的位置关系,并在分类讨论中会将表达式转化成解方程,最后注意方程求出来的数值只是符合表达式而不一定符合题设,因此还要检查所求数值的存在性。希望通过本节课的学习,让学生认清参数的本质,形成以分类讨论和数形结合的方法来思考并解决此类问题的能力。尽量引导学生从多个角度去思考和分析这类问题,帮助学生形成解决二次函数最值问题的最佳思路和方法。