摘要：广州中考非常重视对学生抽象能力、空间想象能力、运算能力和逻辑思维能力等数学核心素养的考查.2022年广州中考数学第25题的第(2)问第2小问就非常好地考查了学生各方面的能力．笔者通过从多方面认真探索它的解法，体会广州中考的考点，以便更好地领悟新课程标准的精神.

　　关键词:2022年广州数学中考题,几何动态,数学核心素养,几何最值,“三会”

　　1考题呈现

　　(2022年广州市中考数学第25题）如图1,在菱形ABCD中，∠BAD=120°时，AB=6,连接BD.(1)求BD的长；

　　(2)点E为线段BD上的一动点（不与B、D重合），点F在边AD上，且BE=3 DF.

　　①当CE⊥AB时，求四边形ABEF的面积.

　　②当四边形ABEF的面积取最小值时，CE+3 CF的值是否也最小？如果是，求CE+3 CF的最小值，如果不是，请说明理由.

                                               

　　2思路历程

　　分析鉴于求四边形ABEF的面积（记为S)的最小值和求CE+3 CF的最小值两个问题，明显第一个问题容易求，故我们先求当点E在何处时，S最小.

　　设DF=x(0<x<6),则BE=3 x,

　　∴DE=6 3-3 x,

　　∴S△DEF=1/2DF·DE·sin∠EDF=1/2x(6 3-3 x)1/2=(x-3)2+

　　∴S=S△DAB-S△DEF=1/2AB·DB·sin∠ABD-S△DEF=(x-3)2+

　　∴当x=3,即点F为AD的中点时，S有最小值,此时BE=3 x=3 3=BD,即点E也是BD的中点.那么，究竟点E在何处时，CE+3 CF最小呢？从不同的角度去思考问题，会有不同的解答方法.

                                         

　　3方法探究

　　思路1验证法我们知道，当点F是AD的中点时S最小，观察图2,验证此时CE+3 CF也恰好最小即可.当点E为BD中点时，易证CE⊥BD,又F是AD中点，此时恰好CF⊥AD.根据“垂线段最短”可知，此时CE和CF同时为最小值，所以CE+3 CF也最小．此时可算出：CE=3,CF=3 3.所以CE+3 CF=3+3×3 3=12.思路2直接法即直接用参数x来表示CE+3CF,得到一个关于x的二次函数便可求出最小值如图3,分别过点C、E、F作BA或其延长线的垂线，垂足分别为H、M、N,再过点F、E分别做CH的垂线，垂足为G、Y,则四边形FNHG为矩形此时，BH=3,CH=3 3,EM=x,BM=x,AN=AF=3,1/2 x,FN=GH=AF=3 3-1/2 x,FG=NH=AB+AN-BH=6 x,CG=CH-GH=x,EY=MH=MB-HB=x-3,CY=CH-YH=3 3 x

　　∴CE+3 CF=EY2+CY2+3·FG2+CG2代入计算得CE+3 CF=3(x-3)2+9+3(x-3)2+81≥3+9=12

　　∴当且仅当x=3时，CE+3 CF的最小值为12.思路3构造法1题目出现了CE+3 CF,关键是构造3 CF,然后设法将3 CF和CE拼接起来，用“两点之间，线段最短”解决.以BD为边作等边△DBP（如图4),在DB上找点G,使DG=BE,连接GP,CG,易得CG=CE.∵BE=DG=3 DF,DP=DB=3 CD,∠CDF=∠PDG=60°,∴CDF∽PDG,∴PG=3 CF,∴CE+3 CF=CG+PG.

　　∴当C、G、P共线时，CE+3 CF有最小值CP,然后求出CP长度即可.构造法2为了得到CE+3 CF,既然可以构造3 CF,当然也可以将CE+3 CF变成3(CE+CF),通过构造CE来解决.将△CEB绕点E边缩小3倍边逆时针旋转150°,得到△HCK（如图5),则∠KCD=90°,CH=CE,CK=CB=2 3.∴K为定点，∠HCK=∠ECB为定角，∴点H的轨迹为线段.连接DK,易证∠CKD=60°,∠CDK=30°,DK⊥DA,且DK⊥KH,

　　∴KH∥AD.

　　∴CE+3 CF=3(CE+CF)=3(CH+CF).

　　∴当F、C、H共线且CF⊥AD时，CH+CF最小．下面只需求出CH+CF的最小值即可.类似地，我们也可以利用tan60°构造PC=3 CF如图6所示，通过求出点P的运动轨迹进行解答.思路4利用余弦定理在△CDF和△CBE中分别用余弦定理得：CF2=DF2+CD2-2CD·DFcos60°=x2+36-6x=(x-3)2+27,CE2=BE2+BC2-2BE·BCcos30°=3x2+36-18x=3(x-3)2+9,

　　∴当x=3时，CF有最小值3 3,CE有最小值3.

　　∴CE+3 CF有最小值为3×3 3+3=12.

　　4考点分析

　　本题可能涉及到的考点主要有：

　　几何动态：点E的运动变化，导致点F的变化，而相应的CE和CF的长度也发生变化．找准它们的变化规律是解决问题的关键.几何最值：从形式上看，似乎是属于“胡不归模型”或者“阿氏圆模型”，如果套用这两个模型，就会误入雷区．它其实是一个拼接模型，拼接后应用“两点之间，线段最短”或者“垂线段最短”.几何构造：涉及到3 CF,如何构造3 CF是关键．而构造时要认真观察，仔细分析，相似是较好的选择当然也可以用三角函数构造或者构造3 CE(如思路3的构造法2).

　　几何变换：在构造的过程中，对称变换、旋转变换是初中数学常考的考点，但利用相似变换去构造更加凸显解答此题的灵活性．作为部分数学较好的精英学生，研究此种变换恰好可以弥补我们学习数学的一个空缺.三角函数：三角函数是解决三角几何问题的常用方法．特别是在特殊的直角三角形中，记住常用的特殊三角函数值，活用三角函数的知识，在解三角几何问题时有特殊的作用.

　　5感悟与启示

　　中考要求学生掌握各方面的能力．从2022年广州中考数学25题中我们可以看出，广州中考非常重视对学生抽象能力、空间想象能力、运算能力和逻辑思维能力等数学核心素养的考查.

　　平时教学要重基础．基础知识是学生分数的生命线，我们一定要教育学生牢牢地打好基础，避免在简单的问题中出错.考前复习要提能力．我们不难发现，大多学生在处理简单的几何题、运算题时毫无压力，而面对一些较难的综合题时便显得力不从心．问题在哪？他们经常是对简单的问题反复练习，而在难题上，经常是退却和自我否定的．因此，我们要告诫学生，提升自己综合能力的关键就是要认真细心、持之以恒地把难题做好做对，并在此基础上多吸收、多归纳、多反思.学有余力要提前学．华南师范大学教授吴康老师提到：“高中的知识如余弦定理等在中考中可以直接使用．我们应该鼓励平时学有余力的精英同学，不应局限于初中的知识，还可以广泛涉猎更多更广的内容”．让学生主动思考，积极探索，这样就能站在一个相对的高度去看待问题，这其实就是一种数学核心素养的提升.

　参考文献：

　　[1]苏明强．《义务教育数学课程标准(2022年版）》变化解读与教学启示[J].福建教育，2022(5):13-15.

　　[2]李玲．发展智慧—浅析初中数学教学策略[J].学周刊，2022(05):117-118.

　　[3]史宁中．数学课程标准修订与核心素养[J].教育研究与评论，2022(5):18-17.