摘 要 : 三角形中的最值问题通常可以借助正、余弦定理，射影定理，三角函数性质，均值不等 式，几何关系等知识和方法解答，一些试题在题设上进行了精心设置后就需要应用多种手段才能解答.通过严格训练，这类试题也能突破.

　　关键词 : 三角函数,最值,解法

　　1 原题呈现

　　二是已知边角齐次式中正、余弦交替出现 ; 三是问题以 tanA 的最值呈现 ( 一般以求三角形周长、面积的最值居多).基于以上创新，试题难度上升了，放在第12题，它就成为试卷的压轴题，因此，值得我们思 考探究.正、余弦的平方启发我们应该考虑同角三角 函数的平方和关系 ; 要求tanA的最值，分离变量构造关于角A的三角函数应该是条有效途径 ; 求最值常用基本不等式、对勾函数.二次函数等工具，我们应努力创设条件，用上这些工具，方可破解这个难题.

　　3 试题解答

　　3.1 把常数代换成字母

　　思路从齐次式的角度出发，将题设中的常数 项-3 代换为-3c2.利用正、弦定理实现边化角，借 助同角三角函数平方关系减少三角函数类型，进而向tanA靠近，最后利用均值不等式和三角函数的单 调性求出最值.

　　评注本解法中用到了教材结论 : 人 教 A 版 ( 2004 年审定) 必修 5 第 22 页第 3 题第二小题.有 资料称(※) 为射影定理(另外还有类似的两个).在教学中，一方面我们需要教会学生证明，另一方面还需有意识地加强应用.本结论在高考中经常被考查， 但是一些学生并不知晓.这很遗憾! 下面再现两个真题 :

　　题 3 ( 2017 年全国 Ⅱ 卷文科第 16 题) △ABC 的内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，若 2bcosB = acosC + ccosA，则 B = ____.

　　注 直接应用射影定理解题.

　　题 4 ( 2013 年全国 Ⅱ 卷理科第 17 题) △ABC 的内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，已 知 a =bcosC + csinB.

　　( 1) 求 B ;

　　( 2) 若 b = 2.求 ΔABC 的面积的最大值. 注 间接应用射影定理解题.

　　3.3 逆用切化弦

　　思路 已知是正、余弦的关系式，问题是正切函 数.因此，我们可以模仿人教 A 版(2004 年审定) 必 修四第 128 页上正切和角公式的推导，实现弦化切，直接构造以 tanA 为因变量的函数.其间需要我们尽力消去其它变量，本质就是一个三角运算的过程.

       评注 本解法能够充分反映高考题的特征之 一: 源于教材，高于教材.很多学生不重视公式的推 导，不重视知识的生成，只在意刷题，这是不可取的. 遇到这种对核心素养要求高的试题时，就举步维艰 ， 不知所措.本题中还用到了和差化积公式，人教 A 版必修四在 139 页以例题和 141 页以练习题的形式 给出了这组公式，若不注意积累，也会出现“无缘”评注 本解法能够充分反映高考题的特征之 一: 源于教材，高于教材.很多学生不重视公式的推 导，不重视知识的生成，只在意刷题，这是不可取的. 遇到这种对核心素养要求高的试题时，就举步维艰 ， 不知所措.本题中还用到了和差化积公式，人教 A 版必修四在 139 页以例题和 141 页以练习题的形式 给出了这组公式，若不注意积累，也会出现“无缘”见面不相识的情况.有人会说，积化和差、和差化积 等知识考纲已经不要求记忆，那就临时推导吧，事实上，不熟悉就不认识，不认识就不可能应用，推导也 没有方向.建议加强日常积累 ! 一道小题能考查诸 多知识，堪称好题.

　　评注 本解法巧妙地将三角函数关系式转化在 直角三角形中，利用二次函数求得了 tanA 的最值， 并且在解题结束时，取等号的条件还揭示了三角形更精准的形状，如图 2.又一次发现数形结合的强大功能和重要用途.无独有偶，再举一例.

　　5 解后反思

　　高考中，压轴题为了起到把关作用都较难，都有 很好的区分度，往往会考查多个知识点和一些解题 技巧.要想突破压轴题，首先我们应当注重课本知识 的生成教学，让学生知其然，并知其所以然，形成完 整的良好的知识结构 ; 其次我们要善于总结，把表象 上脱节的内容融会贯通起来，让知识相互支撑，连点 成线，连线成网，打通各个堵点 ; 还要加强数学思想 方法的积累和应用，做到解题时思路开阔，流程清 晰，路径便捷，防止解题的盲目性 ; 最后我们还要善 于学习，在学习中比较，在比较中选择，通过一题多 解训练能力，提高素养，并表现为解答压轴题的较高 准确率.

参考文献 :

　　[1] 任 志 鸿.十年 高考 [M]. 北 京: 知识 出版社，2021.

　　[2] 李昌成，车燕昭.多视角解析一道客观性压轴题 [J].中学数学研究，2021 (03) : 32-34.

　　[3] 中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准(2017 年版 2020 年修订) [M].北京: 人民教育出版社，2020.

　　[4] 教育部考试中心. 中国高考评价体系 [M].北京: 人民教育出版社，2019.