摘要:新高考对概率统计的考查更加关注数学的应用性．试题创设真实问题情境，理论联系实际，聚焦核心素养，关注数学应用，突出理性思维，考查关键能力，发挥了选拔功能．其中函数模型视角下的概率统计倍受关注，这类试题主要考查综合应用概率、方程、函数等知识和方法解决实际问题的能力．

　　关键词:新高考;函数模型;概率统计;核心素养;数学应用

　　中国高考评价体系提出基础性、应用性、综合性、创新性考查要求，2021年新高考Ⅱ卷21题全面落实了这4个方面的考查要求，并在应用性上进行了重点探索．该题聚焦核心素养，关注数学应用，突出理性思维，考查关键能力，发挥了选拔功能．该题属于函数模型视角下的概率统计试题，其倡导理论联系实际，学以致用，体现数学的应用价值．

　　1真题研究

　　(3)实际含义:当1个微生物个体繁殖下一代的个数的期望值小于或等于1时，该种微生物经过多代繁殖后必然灭绝;当1个微生物个体繁殖下一代的个数的期望值大于1时，该种微生物经过多代繁殖后也不会灭绝．

　　注该题的第(1)问是随机变量期望的直接计算．第(2)问是从函数的视角解决零点(方程的根)问题．第(3)问则是根据数据结果说明概率问题，属于开放性问题，反映出该生物多代繁殖后，期望值越小，临近灭绝的概率越大;期望越大，临近灭绝的概率越小，与我们提倡的三胎政策相吻合．

　　2变式训练

　　函数模型视角下的概率统计试题创设真实问题情境，体现数学思想方法在解决实际问题中的价值和作用，考查利用数学工具解决实际问题的能力．再看下面三道变式题．

　　变式1(2022届高三第一次八校联考)元旦将至，学校文学社拟举办“品诗词雅韵，看俊采星驰”的古诗词挑战赛．初赛阶段有个人晋级赛和团体对决赛．个人晋级赛为“信息连线”题，每位参赛者只有一次挑战机会．比赛规则为:电脑随机给出错乱排列的五句古诗词和五条相关的诗词背景(如诗词题名、诗词作者等)，要求参赛者将它们一一配对，有三对或三对以上配对正确即可晋级．团体对决赛为“诗词问答”题，为了比赛的广泛性，要求以班级为单位，各班级团队的参赛人数不少于30人，且参赛人数为偶数．为了避免答题先后的干扰，当一个班级团队全体参赛者都答题完毕后，电脑会依次显示各人的答题是否正确，并按比赛规则裁定该班级团队是否挑战成功．参赛方式有如下两种，各班可自主选择其中之一参赛．

　　方式一:将班级团队选派的2n个人平均分成n组，每组2人．电脑随机分配给同一组两个人一道相同的试题，两人同时独立答题，若这两人中至少有一人回答正确，则该小组闯关成功．若这n个小组都闯关成功，则该班级团队挑战成功．

　　方式二:将班级团队选派的2n个人平均分成2组，每组n人．电脑随机分配给同一组n个人一道相同的试题，各人同时独立答题，若这n个人都回答正确，则该小组闯关成功．若这两个小组至少有一个小组闯关成功，则该班级团队挑战成功．

　　所以为使本班挑战成功的可能性更大，应选择方式一参赛．

　　变式2(2022届广州市高三调研)某校开展“学习中国史”的主题学习活动．为了调查学生对新中国史的了解情况，需要对学生进行答题测试，答题测试的规则如下:每位参与测试的学生最多有两次答题机会，每次答一题，第一次答对，答题测试过关，得5分，停止答题测试;第一次答错，继续第二次答题，若答对，答题测试过关，得3分;若两次均答错，则答题测试不过关，得0分．某班有12位学生参与答题测试，假设每位学生第一次和第二次答题答对的概率分别为m，0．5，两次答题是否答对互不影响，每位学生答题测试过关的概率为p．

　　(1)若m=0．5，求每一位参与答题测试的学生所得分数的数学期望;

　　(2)设该班恰有9人答题测试过关的概率为f(p)，当f(p)取最大值时，求p，m．

　　变式3(2021年山东省广饶市)为落实立德树人根本任务，坚持五育并举全面推进素质教育，某学校举行了乒乓球比赛，其中参加男子乒乓球决赛的12名队员来自3个不同校区，三个校区的队员人数分别是3，4，5．本次决赛的比赛赛制采取单循环方式，即每名队员进行11场比赛(每场比赛都采取5局3胜制)，最后根据积分选出最后的冠军．积分规则如下:比赛中以3∶0或3∶1取胜的队员积3分，失败的队员积0分;而在比赛中以3∶2取胜的队员积2分，失败的队员积1分．已知第10轮张三对抗李四，设每局比赛张三取胜的概率均为p(0＜p＜1)．

　　(1)比赛结束后冠亚军恰好来自不同校区的概率是多少?

　　(2)第10轮比赛中，记张三3∶1取胜的概率为f(p)．

　　①求出f(p)的最大值点p0;

　　②若以p0作为p的值，这轮比赛张三所得积分为X，求X的分布列及期望．

　　解析(1)比赛结束后冠亚军恰好来自不同校

　　3复习备考建议

　　函数模型视角下的概率统计试题创设真实问题情境，理论联系实际，聚焦核心素养，关注数学应用，突出理性思维，考查关键能力，发挥了选拔功能．我们从以下三点来谈谈在高三的复习备考中如何突破这一类试题．

　　3．1注重对历年高考真题的研究

　　高考真题是高考命题专家智慧的结晶，很经典而且具有很好的代表性和预见性，是高三复习必备的素材．例如2018年全国Ⅰ卷理科第20题，2017年全国Ⅲ卷理科第18题，2016年全国Ⅰ卷理科第18题，2012年全国课标卷理科第18题等都是以生活实际问题为背景，考查函数思想在概率统计中的应用．熟悉这些高考真题，对解决新的概率问题具有很好的借鉴与指导意义．

　　3．2掌握概率的相关知识与函数知识

　　要做好一道综合题，需要掌握很多的知识与思想方法．要解决一道与函数模型有关的概率统计题，则需要掌握古典概型、概率分布(超几何分布、二项分布和正态分布)、随机事件的概率计算与数学期望、互斥事件与对立事件的概率计算等．此外还需掌握作差法比较两个数的大小，利用导数求函数的单调性、极值与最值等．

　　3．3聚焦核心素养，关注数学应用．

　　新高考对概率统计试题的考查更加关注数学的应用性，注重结合生活实际，创设真实问题情境，考查数学核心素养与关键能力，同时也综合考查了高中数学常见的数学思想方法．

　　作为一线教师，在平时的教学尤其是在高三的复习备考中，千万不能忽略对学生核心素养的培养，同时也要培养学生综合应用概率、方程、函数等知识和方法解决实际问题的能力，这样才能适应新高考．

　　参考文献:

　　[1]彭海燕，张瑞．概率统计的秘密[M]．杭州:浙江大学出版社，2021．

　　[2]李鸿昌，杨春波，程汉波．高中数学一点一题型[M]．合肥:中国科学技术大学出版社，2021．