摘要:等差、等比数列能够与数学其它知识点有效融合，成为高考的热门考点．因此，需要注重等差、等比数列性质在试题中的综合应用，理解等差、等比数列中蕴含的数学思想和方法，深化学生对于等差、等比数列性质的理解，提高有关试题的解题效率．

　　关键词:数列问题;数列性质;综合应用

　　近年高考数学试题中，关于等差、等比数列性质的综合应用是一个考查的热点内容，我们应引起足够重视．基于此，本文特归类举例加以说明，希望能够帮助同学们掌握一些常用的解题方法，进一步提高处理等差、等比数列综合问题的解题能力．

　　1考查等差中项与等比中项的综合应用

　　例1已知b是a，c的等比中项，x是a，b的等

　　又注意到所求式子与b无关，从而应设法消去b．因为由②得b=2x－a，

　　由③得b=2y－c，

　　所以将之代入①可得

　　(2x－a)(2y－c)=ac.

　　即4xy－2ay－2cx=0．

　　评注一般地，a，b，c成等差数列⇔b是a，c的等差中项⇔2b=a+c;a，b，c成等比数列⇔b是a，c的等比中项⇔b2=ac(其中a，b，c都不为零)．

　　2考查两个等差或两个等比数列的交汇问题

　　例2(1)在等差数列{an}中，a1=5，前n项和

　　(2)在等比数列{an}中，a1=2，前n项和为Sn．若数列{an+1}也是等比数列，则Sn=．

　　解析(1)设等差数列{an}的公差为d，则

　　(2)设等比数列{an}的公比为q，则

　　a1+1=3，a2+1=2q+1，a3+1=2q2+1．

　　所以由{an+1}是等比数列，得

　　(a2+1)2=(a1+1)(a3+1)．

　　即(2q+1)2=3(2q2+1)．

　　解得q=1．故所求Sn=na1=2n．

　　评注类似分析，可得如下一般性结论:

　　①设{an}是等差数列，且公差为d，若

　　②设{an}是等比数列，且公比为q，若{an+c}(c≠0)也是等比数列，则q=1．

　　3以等差数列为背景，设置等比数列问题

　　例3在等差数列{an}中，公差d≠0，a2是a1与a4的等比中项．已知数列a1，a3，ak 1，ak2，…，akn，…成等比数列，求数列{kn}的通项kn．

　　解法1因为a=a1 a4，

　　所以(a1+d)2=a1(a1+3d)．

　　所以d2=a1 d．

　　又公差d≠0，所以d=a1．

　　所以an=a1+(n－1)d=nd．

　　从而，由题设得数列d，3d，k1 d，k2 d，…，kn d，…是等比数列．

　　所以kn·d=d·3n+1．

　　又注意到d≠0，故可得所求kn=3n+1．

　　评注上述两种解法的区别在于:前者先明确所给等比数列的各项，再运用等比数列的通项公式;后者则是考虑akn在两个数列中的不同位置，并灵活运用等差、等比数列的通项公式进行综合分析．

　　4考查等差数列与等比数列交错接龙

　　例4对于数列a1，a2，…，ak，ak+1，…，a2k，a2k+1，…而言，若a1，a2，…，ak是以d1为公差的等差数列;ak，ak+1，…，a2k是以q1为公比的等比数列;a2k，a2k+1，…，a3k是以d2为公差的等差数列;a3k，a3k+1，…，a4k是以q2为公比的等比数列，…，我们就称该数列为等差、等比数列交错接龙．现已知a1=

　　q3=5，求a34．

　　解析因为数列a1，a2，…，a6是以a1=－3为首项，且以d1=1为公差的等差数列，所以可得a6=－3+5×1=2．

　　于是，由数列a6，a7，…，a12是以q1=3为公比的等比数列，得a12=a6·q6=2×36．

　　由数列a12，a13，…，a18是以d2=－2为公差的等差数列，可得a18=a12+6d2=2×36+6×(－2)=2×36－12．

　　故由数列a30，a31，…，a36是以q3=5为公比的等比数列，即得所求a34=a30·q=2×54=1250．

　　评注在具体情景下，多次反复运用等差数列和等比数列的通项公式，是本题顺利求解的关键所在．整体看，本题设计较好，情景新颖，不仅考查了学生的阅读理解能力，而且也考查了学生在新情景下灵活运用所学等差、等比数列知识分析、解决问题的实际能力．

　　5以行与列的形式，考查等差数列和等比数列通项公式的活用

　　例5如图1，n2(n≥4)个正数排成n行n列方阵，其中每行的数都组成等差数列，每列的数都组成等

　　(1)求公比q的值;

　　(2)求a4k;

　　(3)求ann;

　　(4)求a11+a22+…+ann．

　　a11

　　a21

　　a31

　　a41

　　…

　　an1 a12

　　a22

　　a32

　　a42

　　…

　　an2 a13

　　a23

　　a33

　　a43

　　…

　　an3 a14

　　a24

　　a34

　　a44

　　…

　　an4…a1n…a2n…a3n…a4n

　　……

　　…a

　　图1

　　解析(1)因为第4行的数组成等差数列，所

　　评注(1)本题以“方阵”为载体，考查了在新情景下学生灵活运用等差、等比数列知识处理问题的能力，而解题的关键就是利用等差、等比数列推广的通项公式及错位相减法．

　　(2)根据等差、等比数列的通项公式，很容易证得推广的通项公式:

　　①若{an}是等差数列，则an=am+(n－m)d;

　　②若{an}是等比数列，则an=am·qn－m．

　　综上，处理有关等差、等比数列性质的综合运用问题，首先要认真审题，看清题目已知条件;其次，要能够将等差、等比数列的性质在解题中加以灵活、准确运用．显然，通过上述的归类剖析，可帮助我们进一步熟练掌握等差、等比数列的有关性质，进而提高对新情景的适应能力以及对相关知识的综合运用能力，进一步提升学生的数学综合素养．

　参考文献:

　　[1]郭启华．高中数学数列的解题常规方法探讨[J]．考试周刊，2018(25):67－68．

　　[2]王惠清．高中数学数列试题解题技巧探究[J]．数理化学习(高中版)，2018(05):27－28．